Jak rozwiązać takie równanie:
\(\displaystyle{ (1-sin x) tg^2 x = 1 + cos x ?}\)
nieelementarne równanie trygonometryczne
-
kp1311
- Użytkownik
- Posty: 475
- Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarzecze
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 49 razy
nieelementarne równanie trygonometryczne
\(\displaystyle{ (1-sin x) tg^2 x = 1 + cos x}\)
Najpierw ustalasz sobie dziedzinę równania,
gdy już to zrobisz zaczynamy przekształcenia:
\(\displaystyle{ (1-sin x) \frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}= 1 + cos x}\)
\(\displaystyle{ (1-sin x) \frac{sin^{2}x}{1 - sin^{2}x}= 1 + cos x}\)
\(\displaystyle{ (1-sin x) \frac{sin^{2}x}{(1 - sinx)(1 + sinx)}= 1 + cos x}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}x}{(1 + sinx)}= 1 + cos x}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x= (1 + cos x)(1 + cosx)}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x = 1 + sinxcosx + sinx + cosx}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x - 1= sinxcosx + sinx + cosx}\)
\(\displaystyle{ -cos^{2}x = sinx(1 + cosx) + cosx}\)
\(\displaystyle{ - cosx-cos^{2}x = sinx(1 + cosx)}\)
\(\displaystyle{ -cosx(1 + cosx)= sinx(1 + cosx)}\)
\(\displaystyle{ -cosx = sinx}\)
Dalej robisz graficznie.
Najpierw ustalasz sobie dziedzinę równania,
gdy już to zrobisz zaczynamy przekształcenia:
\(\displaystyle{ (1-sin x) \frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}= 1 + cos x}\)
\(\displaystyle{ (1-sin x) \frac{sin^{2}x}{1 - sin^{2}x}= 1 + cos x}\)
\(\displaystyle{ (1-sin x) \frac{sin^{2}x}{(1 - sinx)(1 + sinx)}= 1 + cos x}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}x}{(1 + sinx)}= 1 + cos x}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x= (1 + cos x)(1 + cosx)}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x = 1 + sinxcosx + sinx + cosx}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x - 1= sinxcosx + sinx + cosx}\)
\(\displaystyle{ -cos^{2}x = sinx(1 + cosx) + cosx}\)
\(\displaystyle{ - cosx-cos^{2}x = sinx(1 + cosx)}\)
\(\displaystyle{ -cosx(1 + cosx)= sinx(1 + cosx)}\)
\(\displaystyle{ -cosx = sinx}\)
Dalej robisz graficznie.
-
Rogal
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
nieelementarne równanie trygonometryczne
Po takich przekształceniach graficznie? Toż od razu można było graficznie. 
\(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \sin x + \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \left(x - \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}\)
\(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \sin x + \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \left(x - \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}\)
nieelementarne równanie trygonometryczne
A czy można potem zrobić tak?:
\(\displaystyle{ -\cos x=\sin x \\
-1=\frac{\sin x}{\cos x}=\tg x \\
x=\frac{3}{4}\pi}\)
\(\displaystyle{ -\cos x=\sin x \\
-1=\frac{\sin x}{\cos x}=\tg x \\
x=\frac{3}{4}\pi}\)
-
honey91
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 25 paź 2009, o 12:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wałbrzych
- Podziękował: 2 razy
nieelementarne równanie trygonometryczne
dzieki ale zgubiles jedno rozwiazanie w tym momencie:
\(\displaystyle{ -cosx (1+cosx) = sin x (1+cosx)}\) dzielisz przez \(\displaystyle{ (1+cosx)}\) wiec eliminujesz rozwiazanie \(\displaystyle{ cos x = -1}\) czyli \(\displaystyle{ x= \pi + 2k\pi}\)
-- 7 lis 2009, o 20:34 --
i Mtt-Mmt tez zgubiles rozwiazanie \(\displaystyle{ sinx=0}\) czyli \(\displaystyle{ x=k\pi}\)
dzieki wielkie za pomoc-- 8 lis 2009, o 14:30 --mam jeszcze jedno pytanie co do tego zadania
rozwiazania wyszły takie :
\(\displaystyle{ x_1=\pi +2k\pi}\)
\(\displaystyle{ x_2=- \frac{\pi}{4} +k\pi}\)
\(\displaystyle{ x_3=k\pi}\)
pytanie czy dziedzina sa wszystkie liczby rzeczywiste oprocz \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2} +k\pi}\) czy cos jeszcze?
\(\displaystyle{ -cosx (1+cosx) = sin x (1+cosx)}\) dzielisz przez \(\displaystyle{ (1+cosx)}\) wiec eliminujesz rozwiazanie \(\displaystyle{ cos x = -1}\) czyli \(\displaystyle{ x= \pi + 2k\pi}\)
-- 7 lis 2009, o 20:34 --
i Mtt-Mmt tez zgubiles rozwiazanie \(\displaystyle{ sinx=0}\) czyli \(\displaystyle{ x=k\pi}\)
dzieki wielkie za pomoc-- 8 lis 2009, o 14:30 --mam jeszcze jedno pytanie co do tego zadania
rozwiazania wyszły takie :
\(\displaystyle{ x_1=\pi +2k\pi}\)
\(\displaystyle{ x_2=- \frac{\pi}{4} +k\pi}\)
\(\displaystyle{ x_3=k\pi}\)
pytanie czy dziedzina sa wszystkie liczby rzeczywiste oprocz \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2} +k\pi}\) czy cos jeszcze?