Dwa równania trygonometryczne do sprawdzenia

[Tom555]

Zadanie 1:

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ \alpha \in \langle 0,\frac{\pi }{2}\rangle}\) równanie:

\(\displaystyle{ {x^2}\sin \alpha + x + \cos \alpha = 0}\)

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?

Czyli na początek warunek

\(\displaystyle{ \Delta > 0}\)


I liczymy:

\(\displaystyle{ \begin{array}{l}
1 - 2\sin 2\alpha > 0 \\
2\sin 2\alpha < 1 \\
\sin 2\alpha < \frac{1}{2} \\
2\alpha < \frac{\pi }{6} \\
\alpha < \frac{\pi }{{12}} \\
\end{array}}\)

W odpowiedziach dodatkowo jest, że

\(\displaystyle{ \alpha \in (\frac{5}{{12}}\pi ,\frac{\pi }{2})}\)




Zadanie 2:

Obliczyć \(\displaystyle{ \cos \frac{x}{2}}\) jeżeli wiadomo, że \(\displaystyle{ \cos x = - \frac{2}{3}}\) i \(\displaystyle{ x \in \langle \pi ,2\pi \rangle}\)

Wychodzi, że \(\displaystyle{ \cos x = \frac{1}{{\sqrt 6 }} \vee \cos x = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 6 }}}\)

ale w odpowiedziach jest tylko \(\displaystyle{ \cos x = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 6 }}}\)

Czy ktoś może powiedzieć czego nie uwzględniłem w tych zadaniach?

[Jan Kraszewski]

W zad. 1 zapomniałeś, że skoro \(\displaystyle{ \alpha\in\langle 0,\frac\pi 2\rangle}\), to \(\displaystyle{ 2\alpha\in\langle 0,\pi\rangle}\).

W zad 2. to samo. Skoro \(\displaystyle{ x\in\langle \pi,2\pi\rangle}\), to \(\displaystyle{ \frac x2\in\langle \frac\pi 2, \pi\rangle}\).

JK