ZBIÓR ZADAŃ

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW

ZBIÓR ZADAŃ

Post autor: bolo » 11 maja 2006, o 23:45

ZBIÓR ZADAŃ
TRYGONOMETRIA
1. Bez użycia kalkulatora obliczyć: \(\sin70^{\circ}\cdot \sin50^{\circ}\cdot \sin10^{\circ}\) 2. W trójkącie ostrokątnym dane są: \(a=2\), \(b=1\), \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}\). Obliczyć \(c\). 3. Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie posiada rozwiązanie? \(\cos x+\sqrt{3}\sin x=\log(m-1)-\log(3-m)\) 4. Rozwiązać algebraicznie i graficznie równanie: \(\sin 2x=\cos x+|\cos x|\) 5. Udowodnić, że jeżeli liczba \(a\) jest dodatnia, to liczba \(T=\frac{2\pi}{a}\) jest okresem funkcji \(f(x)=\sin ax\). 6. Rozwiązać równanie: \((\cos x-\sin x)^{2}+\tan x=2\sin^{2}x\) 7. Rozwiązać równanie: \(\tan x+\cot x=4\sin2x\) 8. Rozwiązać równanie: \(\cos2x + \sin x=0\) 9. Rozwiązać równanie: \(\cos x+\cos3x+\cos5x=0\) 10. Udowodnić równość: \(\sin^{2}x-\sin^{2}y=\sin(x+y)\sin(x-y)\) 11. Narysować wykres funkcji: \(f(x)=\cos x-\sqrt{3}\sin x\) 12. Rostrzygnąć, czy dla każdej liczby \(x\in(0;\pi)\) zachodzi równość \(\cot x+\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1}{\sin x}\). 13. Wiedząc, że \(\alpha\) jest kątem ostrym oraz \(\cos\alpha=\sqrt{\sqrt{2} - 1}\), obliczyć \(\sin\alpha\) i \(\tan\alpha\). 14. Rozwiązać nierówność przy założeniu, że \(x\in(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})\): \(\sqrt[3]{1-\sin^{2}x}+2\sin^2x 15. Znaleźć najmniejszą wartość funkcji określonej wzorem \(f(x)=\sin^{4}x+\cos^{4}x\) w przedziale \(\langle 0;\frac{\pi}{8}\rangle\). 16. Rozwiązać równanie: \(\tan{2x}=\tan{(3x-\frac{\pi}{6})}\) 17. Rozwiązać równanie: \(\sin x+\cos x+\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x \cos x}\) 18. Rozwiązać równanie: \(\sin x \cos2x=1\) 19. Rozwiązać równania: \(\\ \sin^{2}\pi x + \sin^{2}\pi y = 0 \\ \sin^{2}\pi x + \cos^{2}\pi y = 1 \\ \sin^{2}\pi(x^{2}y^{2}) = 1\) 20. Uprościć wyrażenia: a) \(\frac{1+\tan x}{1+\cot x}\) b) \(\sin^{4}x+\sin^{2}x\cdot \cos^{2}x+\cos^{2}x\) c) \(\frac{1-2\cos^{2}x}{2\sin^{2}x-1}\) d) \(\frac{\sin^{2}x}{1-\cos x}\) 21. Rozwiązać równanie: \(\sin x+\sin2x+\sin3x = 4\cos x \cos(\frac{x}{2})\cos(\frac{3x}{2})\) 22. Bez użycia kalkulatora obliczyć: \(\frac{\cos210^{\circ}\cdot \cot 390^{\circ} -\sin405^{\circ}\cdot \cos675^{\circ}}{\sin30 ^{\circ}\cdot \tan225^{\circ}+\sin^{2}300^{\circ}}\) 23. Rozstrzygnąć czy istnieje styczna do wykresu funkcji \(f(x)=\cos3x+2\), która jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=\frac{1}{6}x+5\) 24. Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie posiada rozwiązanie? \(m^{2}(1-\sin x) -4m+\sin x +1=0\) 25. Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie posiada rozwiązanie? \(\cos2x+m \sin x+7=2m\) 26. Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie posiada rozwiązanie? \(\sin^{2}x+\sin x+m=0\) 27. Nie korzystając ze wzorów na wartość \(\sin36^{\circ}\) obliczyć \(\sin18^{\circ}\) 28. Wykazać, że jeżeli w trójkącie zachodzi \(\sin^2 \alpha = \sin^2 \beta + \sin^2 ( \alpha + \beta )\), to trójkąt ten jest prostokątny. 29. Wykazać, że zachodzi równość: \(\cos36^{\circ}\cos72^{\circ}=\frac{1}{4}\) 30. Wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji: \(f(x)=\frac{(\cot^{2}x-\tan^{2}x)\sin^{2}2x}{4\cos2x \sin^{2}x}\) 31. Wykazać tożsamość: \((1+\sin x)(1-\sin x)=\cos^2 x\) 32. Rozwiązać nierówność: \(\cot x>-\frac{1}{\sqrt{3}}\) 33. Wykazać tożsamość: \(\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{2}{\sin x}\) 34. Bez użycia kalkulatora obliczyć: \(\tan43^{\circ}\cdot \tan44^{\circ}\cdot \tan45^{\circ}\cdot \tan46^{\circ}\cdot \tan47^{\circ}\\ \cot25^{\circ}\cdot \cot35^{\circ}\cdot \cot45^{\circ}\cdot \cot55^{\circ}\cdot \cot65^{\circ}\) 35. Rozwiązać równania: \(\sin3x+\sin x=\sin2x \\ \cos6x-\cos2x=\sin2x\) 36. Rozwiązać równanie: \((\frac{1}{2})^{\log_{0,5}^{2}\sin x}\,+(\sin x)^{\log_{0,5}\sin x}\,=1\) 37. Rozwiązać równania: \(2\cos x=\log y+\frac{1}{\log y} \\ \tan^{2}(x+y)+\cot^{2}(x+y)=1-2x-x^{2}\) 38. Dla danej funkcji \(f(x)=\cos x\) wyznaczyć te wartości parametru \(t\in\langle-\pi;\pi\rangle\), dla których równanie \(\log_{\frac{1}{3}}(x+1)-\log_{\frac{1}{3}}x-f(2t)=0\) posiada rozwiązania. 39. Rozwiązać równania: \(\cos x=-0,5 \\ \sin5x+\sin x=0\) 40. Rozwiązać równanie: \(\sin^{2}2x+\sin^{2}4x=\sin^{2}6x\) 41. Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji \(f(x)=3+3\cos 5x\) 42. Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych uzasadnić, że dla każdego \(x\) zachodzi nierówność: \(\sin7x+\cos15x+\sin19x 43. Wykazać tożsamość: \(\sin^{4}x+\cos^{2}x=\sin^{2}x+\cos^{4}x\) 44. Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(\sin x+\sin^{2}x+\sin^{3}x+...=m-1\) posiada rozwiązanie? 45. Dla jakiej wartości parametru \(n\) nierówność \(|\sin^{2}x-3\cos^{2}x| jest spełniona dla każdego \(x\in\mathbb{R}\)? 46. Rozwiązać równanie: \(\sin^{5}x+\cos^{5}x=\sin^{4}x-2\) 47. Rozwiązać równanie: \(\tan x+\cot x=4\sin2x\) 48. Wykazać równość: \(4\cos36^{\circ}\sin18^{\circ}=1\) 49. Rozwiązać równanie: \(\sqrt{3}\cos x+\sin x=1\) 50. Rozwiązać równanie: \(\cos2x-\cos6x=\sin(x-3)\) 51. Uprościć wyrażenie: \(\frac{1+\cot^{2}x}{1-\cot^{2}x}\cdot(\sin x+\cos x)\) 52. Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(3\cos(x+\frac{\pi}{4})=|m-1|-5\) posiada rozwiązanie? 53. Obliczyc wartość wyrażenia: \(\tan\frac{7\pi}{4}\cdot \cos(-\frac{17\pi}{6})+\cot \frac{5}{2}\pi+ \sin^{2}(\frac{\pi}{9})+\sin^{2}(\frac{7\pi}{18})\)

Zablokowany