ZBIÓR ZADAŃ

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

ZBIÓR ZADAŃ

Post autor: bolo » 11 maja 2006, o 23:45

ZBIÓR ZADAŃ
TRYGONOMETRIA

1. Bez użycia kalkulatora obliczyć:

\(\displaystyle{ \sin70^{\circ}\cdot \sin50^{\circ}\cdot \sin10^{\circ}}\)

2. W trójkącie ostrokątnym dane są: \(\displaystyle{ a=2}\), \(\displaystyle{ b=1}\), \(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}}\). Obliczyć \(\displaystyle{ c}\).

3. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie posiada rozwiązanie?

\(\displaystyle{ \cos x+\sqrt{3}\sin x=\log(m-1)-\log(3-m)}\)

4. Rozwiązać algebraicznie i graficznie równanie:

\(\displaystyle{ \sin 2x=\cos x+|\cos x|}\)

5. Udowodnić, że jeżeli liczba \(\displaystyle{ a}\) jest dodatnia, to liczba \(\displaystyle{ T=\frac{2\pi}{a}}\) jest okresem funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin ax}\).

6. Rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ (\cos x-\sin x)^{2}+\tan x=2\sin^{2}x}\)

7. Rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ \tan x+\cot x=4\sin2x}\)

8. Rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ \cos2x + \sin x=0}\)

9. Rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ \cos x+\cos3x+\cos5x=0}\)

10. Udowodnić równość:

\(\displaystyle{ \sin^{2}x-\sin^{2}y=\sin(x+y)\sin(x-y)}\)

11. Narysować wykres funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=\cos x-\sqrt{3}\sin x}\)

12. Rostrzygnąć, czy dla każdej liczby \(\displaystyle{ x\in(0;\pi)}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \cot x+\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1}{\sin x}}\).

13. Wiedząc, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym oraz \(\displaystyle{ \cos\alpha=\sqrt{\sqrt{2} - 1}}\), obliczyć \(\displaystyle{ \sin\alpha}\) i \(\displaystyle{ \tan\alpha}\).

14. Rozwiązać nierówność przy założeniu, że \(\displaystyle{ x\in(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})}\):

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1-\sin^{2}x}+2\sin^2x-\frac{1}{\sqrt{3}}}\)

33. Wykazać tożsamość:

\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{2}{\sin x}}\)

34. Bez użycia kalkulatora obliczyć:

\(\displaystyle{ \tan43^{\circ}\cdot \tan44^{\circ}\cdot \tan45^{\circ}\cdot \tan46^{\circ}\cdot \tan47^{\circ}\\ \cot25^{\circ}\cdot \cot35^{\circ}\cdot \cot45^{\circ}\cdot \cot55^{\circ}\cdot \cot65^{\circ}}\)

35. Rozwiązać równania:

\(\displaystyle{ \sin3x+\sin x=\sin2x \\ \cos6x-\cos2x=\sin2x}\)

36. Rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ (\frac{1}{2})^{\log_{0,5}^{2}\sin x}\,+(\sin x)^{\log_{0,5}\sin x}\,=1}\)

37. Rozwiązać równania:

\(\displaystyle{ 2\cos x=\log y+\frac{1}{\log y} \\ \tan^{2}(x+y)+\cot^{2}(x+y)=1-2x-x^{2}}\)

38. Dla danej funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\cos x}\) wyznaczyć te wartości parametru \(\displaystyle{ t\in\langle-\pi;\pi\rangle}\), dla których równanie \(\displaystyle{ \log_{\frac{1}{3}}(x+1)-\log_{\frac{1}{3}}x-f(2t)=0}\) posiada rozwiązania.

39. Rozwiązać równania:

\(\displaystyle{ \cos x=-0,5 \\ \sin5x+\sin x=0}\)

40. Rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ \sin^{2}2x+\sin^{2}4x=\sin^{2}6x}\)

41. Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji \(\displaystyle{ f(x)=3+3\cos 5x}\)

42. Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych uzasadnić, że dla każdego \(\displaystyle{ x}\) zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ \sin7x+\cos15x+\sin19x}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Zablokowany