dodawanie funkcji trygonometrycznych

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
zaxer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 29 paź 2009, o 12:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum
Podziękował: 4 razy

dodawanie funkcji trygonometrycznych

Post autor: zaxer »

\(\displaystyle{ (sin\alpha + cos\beta)^{2}=?}\)

Dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:
\(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{a}{c}}\)

\(\displaystyle{ cos\beta = \frac{a}{c}}\)

zatem
\(\displaystyle{ (sin\alpha + cos\beta)^{2}=(\frac{a}{c}+\frac{a}{c})^{2}}\) - dobrze?
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

dodawanie funkcji trygonometrycznych

Post autor: Sherlock »

Zakładając, że kąty alfa i beta są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym (zatem \(\displaystyle{ \alpha+\beta=90^0}\)) to:
\(\displaystyle{ sin\alpha=cos\beta}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=sin\beta}\)
Zatem \(\displaystyle{ (sin\alpha + cos\beta)^{2}=(sin\alpha+sin\alpha)^2=4sin^2\alpha}\) lub \(\displaystyle{ (sin\alpha + cos\beta)^{2}=(cos\beta+cos\beta)^2=4cos^2\beta}\)
Ostatnio zmieniony 6 lis 2009, o 13:01 przez Sherlock, łącznie zmieniany 1 raz.
zaxer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 29 paź 2009, o 12:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum
Podziękował: 4 razy

dodawanie funkcji trygonometrycznych

Post autor: zaxer »

Ok, skorzystałem z cennych podpowiedzi, ale niestety utknąłem na tym jak pomnożyć \(\displaystyle{ sin\alpha \cdot cos\beta}\) ?

Chodzi mi o ten fragment gdzie \(\displaystyle{ ... 2 \cdot sin\alpha \cdot cos\beta ...}\) (2ab we wzorze skróconego mnożenia)
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

dodawanie funkcji trygonometrycznych

Post autor: Sherlock »

zaxer, teraz dopiero widzę, że mamy dwa różne kąty, poprzednie wskazówki są więc nieważne (myślałem, że tam jest \(\displaystyle{ (sin\alpha+cos\alpha)^2}\) wtedy \(\displaystyle{ sin^2 \alpha + 2sin\alpha cos\alpha+ cos^2 \alpha=1 + sin2\alpha}\)).
Poprawiłem mój poprzedni post zakładając, że \(\displaystyle{ \alpha+\beta=90^0}\). Nie wiem czy takie założenie masz w tym zadaniu? Wiesz coś więcej o tych kątach?
zaxer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 29 paź 2009, o 12:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum
Podziękował: 4 razy

dodawanie funkcji trygonometrycznych

Post autor: zaxer »

Trzeba było poprsostu zastosować wzór skróconego mnożenia i koniec zadania eh... dzięki.

A jak rozwiązać coś takiego?:

\(\displaystyle{ sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha}\)

podobno wynik ma być równy \(\displaystyle{ 1}\). Mógłby ktoś to ładnie rozpisać?
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

dodawanie funkcji trygonometrycznych

Post autor: Sherlock »

zaxer pisze:Trzeba było poprsostu zastosować wzór skróconego mnożenia i koniec zadania eh...
najciemniej jest pod latarnią

\(\displaystyle{ sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1}\) to wspomniana już przeze mnie jedynka trygonometryczna, ważna tożsamość, która bardzo się przydaje w wielu zadaniach.
W trójkącie prostokątnym:
\(\displaystyle{ sin^2\alpha+cos^2\alpha= \frac{a^2}{c^2}+ \frac{b^2}{c^2}= \frac{c^2}{c^2} =1}\). W internecie znajdziesz ogólniejsze dowody, np. tu:
ODPOWIEDZ