Czesc
niestety nie mialem przyjemnosci byc na wykladzie z tego i za cholere nie moge sobie z tym poradzic, moze ktos mi pomoc w 2 najprostszych przykladach, zebym to jakos zalapal, z gory dzieki:
1. Narysować wykres funkcji
\(\displaystyle{ y = sin(arccos x)}\)
2. Wyznaczyć dziedzinę funkcji i zbiór wartości funkcji ).
\(\displaystyle{ y=2arcsin \left( 1 - \frac{ \left|x \right| }{2} \right)}\)
Naszkicować
wykres funkcji.
Funkcje cyklometryczne
-
orzechowicz
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 26 paź 2009, o 18:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
-
Jake
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 8 gru 2008, o 20:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sanok
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 2 razy
Funkcje cyklometryczne
1.\(\displaystyle{ y = sin(arccos x)}\), \(\displaystyle{ x \in [-1;1]}\)
Niech \(\displaystyle{ arccos x= \alpha \Rightarrow cos \alpha =x}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \in [0;\pi]}\), mamy również:
\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha +cos ^{2} \alpha =1}\), stąd:
\(\displaystyle{ sin \alpha = \sqrt{1-x ^{2} }}\), a jest to dodatni pierwiastek, gdyż dla \(\displaystyle{ \alpha}\) z takiego przedziału jak wyżej \(\displaystyle{ sin \alpha}\) jest nieujemny.
Masz więc: \(\displaystyle{ y= \sqrt{1-x ^{2} }}\),a to daje:
\(\displaystyle{ y ^{2} +x ^{2} =1}\), czyli wykresem jest pół okręgu nal. do I i II ćwiarty. (linijke wyżej odczytaliśmy, że \(\displaystyle{ y \ge 0}\)).
2. \(\displaystyle{ y=2arcsin \left( 1 - \frac{ \left|x \right| }{2} \right)}\), dziedzina: \(\displaystyle{ -1 \le 1 - \frac{ \left|x \right| }{2} \right \le 1}\), stąd \(\displaystyle{ x \in [-4;4]}\).
Zbiorem wartości funkcji arkus sinus jest zbiór \(\displaystyle{ [- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} ]}\), więc u nas zbior war. f. wynosić bedzie\(\displaystyle{ [2 \cdot (- \frac{\pi}{2});2 \cdot \frac{\pi}{2} ]}\), czyli \(\displaystyle{ [-\pi;\pi]}\). (co do tego ZWf nie jestem do końca pewny)
Niech \(\displaystyle{ arccos x= \alpha \Rightarrow cos \alpha =x}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \in [0;\pi]}\), mamy również:
\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha +cos ^{2} \alpha =1}\), stąd:
\(\displaystyle{ sin \alpha = \sqrt{1-x ^{2} }}\), a jest to dodatni pierwiastek, gdyż dla \(\displaystyle{ \alpha}\) z takiego przedziału jak wyżej \(\displaystyle{ sin \alpha}\) jest nieujemny.
Masz więc: \(\displaystyle{ y= \sqrt{1-x ^{2} }}\),a to daje:
\(\displaystyle{ y ^{2} +x ^{2} =1}\), czyli wykresem jest pół okręgu nal. do I i II ćwiarty. (linijke wyżej odczytaliśmy, że \(\displaystyle{ y \ge 0}\)).
2. \(\displaystyle{ y=2arcsin \left( 1 - \frac{ \left|x \right| }{2} \right)}\), dziedzina: \(\displaystyle{ -1 \le 1 - \frac{ \left|x \right| }{2} \right \le 1}\), stąd \(\displaystyle{ x \in [-4;4]}\).
Zbiorem wartości funkcji arkus sinus jest zbiór \(\displaystyle{ [- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} ]}\), więc u nas zbior war. f. wynosić bedzie\(\displaystyle{ [2 \cdot (- \frac{\pi}{2});2 \cdot \frac{\pi}{2} ]}\), czyli \(\displaystyle{ [-\pi;\pi]}\). (co do tego ZWf nie jestem do końca pewny)