równanie trygonometryczne z cechą

[szymek12]

Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ sin( \frac{\pi}{6}+ \left[ \frac{\pi}{6} \right])= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[x \right]}\) oznacza cechę liczby \(\displaystyle{ x}\)
Wyszło mi \(\displaystyle{ x> \frac{\pi}{6}}\). Proszę o zweryfikowanie wyniku.

[czeslaw]

Coś musiałeś pomieszać z zapisem, to nie jest równanie, a jedynie stwierdzenie (skądinąd poprawne).

Pozdrawiam.

[szymek12]

Sorry miało być:
\(\displaystyle{ sin( \frac{\pi}{6} + \left[ \frac{\pi}{6x} \right])= \frac{1}{2}}\)

[czeslaw]

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{6} + 2k \pi \vee \alpha = \frac{5 \pi}{6} + 2k \pi \quad \mbox{dla} \ k \in \mathbb{Z}\\ 1^{\circ} \\ \\ \frac{\pi}{6} + \lfloor \frac{\pi}{6x} \rfloor = \frac{\pi}{6} + 2k \pi \quad \mbox{dla} \ k \in \mathbb{Z} \\ \lfloor \frac{\pi}{6x} \rfloor = 2k \pi \quad \mbox{dla} \ k \in \mathbb{Z}}\)

Funkcja \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor}\) przyjmuje tylko wartości całkowite, natomiast po prawej stronie mamy wyrażenie \(\displaystyle{ 2k \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\) Ponieważ liczba \(\displaystyle{ \pi}\) jest niewymierna, to pomnożona przez jakąkolwiek liczbę całkowitą różną od 0 jest dalej liczbą niewymierną, zatem jedyne \(\displaystyle{ k}\) dla którego równanie ma szansę być spełnione, to \(\displaystyle{ k=0}\). Wówczas mamy:
\(\displaystyle{ \lfloor \frac{\pi}{6x} \rfloor = 0 \\ \frac{\pi}{6x} \ge 0 \wedge \frac{\pi}{6x} < 1}\)

Z części wspólnej tych dwoch nierówności mamy \(\displaystyle{ x \in (\frac{\pi}{6}; \infty)}\)

\(\displaystyle{ 2^{\circ} \\ \\ \lfloor \frac{\pi}{6x} \rfloor = \frac{2 \pi}{3} + 2k \pi}\)

Tutaj trzeba zauważyć, że po prawej stronie nigdy nie dostaniemy liczby całkowitej, niezależnie jakie \(\displaystyle{ k}\) weźmiemy. Zatem drugi podpunkt nie ma rozwiązań.

Twój wynik jest zatem prawidłowy.

Pozdrawiam.