wyznacz sinus i cosinus

[aceja]

Kat \(\displaystyle{ \alpha}\) jest katem ostrym i tg \(\displaystyle{ \alpha}\)= 4. Wyznacz sinus i cosinus tego kata.

[aksrugiw]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \tg \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \\ \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha =1 \end{cases}}\)

[aceja]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \tg \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \\ \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha =1 \end{cases}}\)

i co dalej ..? nie umiem tego ruszyć...

[aksrugiw]

Podstawiasz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4 = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \\ \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha =1 \end{cases}}\)
Z pierwszego mamy:
\(\displaystyle{ \sin \alpha =4 \cdot \cos \alpha}\)
I podstawiamy do drugiego:
\(\displaystyle{ (4 \cdot \cos \alpha)^{2}+\cos^{2} \alpha =1

16\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha =1


17\cos^{2} \alpha =1


\cos^{2} \alpha = \frac{1}{17}


\cos \alpha = \frac{ \sqrt{17} }{17} \vee \cos \alpha = -\frac{ \sqrt{17} }{17}}\)
Skoro kąt jest ostry bieżemy pod uwagę tylko dodatnie cosinusy. I teraz:
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{4 \cdot \sqrt{17} }{17}}\)

[aceja]

dzieki wielkie )