Tożsamości funkcji cyklometrycznych

[Piotrekm89]

Udowodnij:

\(\displaystyle{ \forall_{x>0} \quad \arctan \frac{1}{x} = \arccot x}\)

\(\displaystyle{ \forall_{x \in [0,1]} \quad \arcsin x = \arccos \sqrt{1- x^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \forall_{x \in [-1,1]} \quad \arcsin x = arcsin(-x)}\)

\(\displaystyle{ \forall_{x \in [-1,1]} \quad \arccos(-x) = \pi - \arccos x}\)

Hm, pomoże ktoś? Nie mam pojęcia jak za to się zabrać :/

[Szemek]

Idea jest taka.
Przenosisz wszystko na jedną stronę i zapisujesz to jako funkcję, np. \(\displaystyle{ f(x) = \arctan \frac{1}{x} - \arccot x}\)
Jeżeli własność jest prawdziwa, to funkcja w danych przedziale będzie przyjmować wartość \(\displaystyle{ f(x)=0}\), a więc \(\displaystyle{ f(x)}\) jest funkcją stałą.
Liczysz pochodną - pochodna ze stałej wynosi 0.
Jeśli taka pochodna Ci wyjdzie, to znaczy, że własność jest prawdziwa.

[Piotrekm89]

Dzięki ogromne

[czeslaw]

Wykorzystywanie tak złożonego aparatu matematycznego do tego zadania wydaje mi się odrobinę przesadzone, w każdym przykładzie można nieco "sprytniej".

Na przykład podpunkt 2:
\(\displaystyle{ \arcsin x = \arccos \sqrt{1- x^{2} }}\)

Podstawmy \(\displaystyle{ \alpha = \arcsin x}\) oraz \(\displaystyle{ \beta = \arccos \sqrt{1-x^2}}\). Wówczas mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x = \sin \alpha \\ \sqrt{1- x^2} = \cos \beta \end{cases}}\)
Podnosząc obie strony równania do kwadratu i dodając je do siebie, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \beta}\), co w szczególności jest prawdą dla \(\displaystyle{ \alpha = \beta}\), a to przecież mieliśmy pokazać.