Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji

kiszkajoy · Post autor: **kiszkajoy** » 31 paź 2009, o 20:29

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji
$\displaystyle{ f(x)=2(3cos^2x+1)^2-12(3cos^2x+1)+16}$, gdzie $\displaystyle{ x\in R}$.

silvaran · Post autor: **silvaran** » 31 paź 2009, o 23:29

zamiast $\displaystyle{ 3\cos^2x+1}$ podstaw sobie jakieś t, żeby się łatwiej pisało
policz delte, miejsca zerowe, doprowadzając do postaci:
$\displaystyle{ f(t)=2(t-2)(t-4)}$
wróć do cos i wstaw, otrzymasz:
$\displaystyle{ f(x)=2(\cos^2x-1)(\cos^2x-3) \\ \\ \cos^{2} x \in [0,1]}$
stąd otrzymujemy, że wartość minimalna wynosi 0, a maksymalna 6

kiszkajoy · Post autor: **kiszkajoy** » 1 lis 2009, o 15:04

zamiast $\displaystyle{ f(x)=2(\cos^2x-1)(\cos^2x-3)}$, nie powinno być $\displaystyle{ f(x)=2(3cos^2x-1)(3cos^2x-3)}$?

silvaran · Post autor: **silvaran** » 1 lis 2009, o 19:36

no wiem, specjalnie napisałem, żeby sprawdzić czy użważnie czytasz ;P
a tak na serio to masz rację, poradzisz sobie już?

kiszkajoy · Post autor: **kiszkajoy** » 3 lis 2009, o 20:37

w odpowiedziach mam że najmniejsza wartość wynosi $\displaystyle{ -2}$

gadonn · Post autor: **gadonn** » 1 maja 2010, o 18:50

w odpowiedzi jest w ogóle błąd, ponieważ oni wyliczyli, że t=<1;4>

susieart · Post autor: **susieart** » 29 kwie 2011, o 22:45

Wydaje mi się, że t=<1,4> jest dobrze. To jest zbiór wartości dla cosinusa, a jednocześnie dziedzina dla f(x)

$\displaystyle{ 0 \le cosx \le 1 /*3}$
$\displaystyle{ 0 \le 3cosx \le 3 /+1}$
$\displaystyle{ $1 \le 3cosx + 1 \le 4$}$

jeżeli 3cosx+1 = t
to dziedziną f(x) jest zbiór t=<1;4>

Mamy wówczas do czynienia z parabolą. Obliczamy jej wierzchołek i sprawdzamy czy należy do dziedziny. Obliczamy także f(1) i f(4) - wartości funkcji na krańcach dziedziny. Z otrzymanych trzech wyników wybieramy najmniejszy i największy. Poza tym jeżeli wierzchołek należy do dziedziny to automatycznie jest argumentem dla największej lub najmniejszej (w zależności od współczynnika a) wartości funkcji f(x).
Rozwiązanie:

$\displaystyle{ 3cosx+1=t}$
$\displaystyle{ D: t \in <1;4>}$
$\displaystyle{ x _{w} = \frac{-(-12)}{2*2} \Leftrightarrow x _{w} = 3; \in D _{f}}$

$\displaystyle{ f(x _{w}) = f(3) 2 \cdot 3 ^{2} - 12 \cdot 3+16 = -2}$
Dla krańców dziedziny:
$\displaystyle{ f(1) = 2 \cdot 1-12 \cdot 1+16 = 6}$
$\displaystyle{ f(4) = 2 \cdot 4 ^{2} -12 \cdot 4+16 = 0}$

wartość najmniejsza to -2 dla wierzchołka
wartość największa to 6