Równanie z trzema parametrami...

[kulka]

witam
jestem tu pierwszy raz.
na poczatek taka oto wprawka:

Podać warunek na A, B, C aby równanie
A * sin(x) + B * cos(x) = C
posiadało rozwiązanie.

PS. mnie sie udało zmieścić w 4-ch linijkach

[Mapedd]

wiemy że:

\(\displaystyle{ -\sqrt{A^2+B^2} q Asinx+Bcosx q \sqrt{A^2+B^2}}\)
wiec aby dane równanie miało rozwiazanie to :

\(\displaystyle{ -\sqrt{A^2+B^2} q C q \sqrt{A^2+B^2}}\)

czyli

\(\displaystyle{ |C| q \sqrt{A^2+B^2}}\)
czyli

\(\displaystyle{ C^2 q A^2+B^2}\)

ok?

mam nadzieje że wszyscy wiedzą skąd jest pierwsza nie rowność

[kulka]

brawo !
ja troche inaczej ale wynik ten sam

[Mapedd]

a jak inaczej mozna?

[kulka]

Równanie
\(\displaystyle{ Asin(x) + Bcos(x) = C}\)
dzielimy stronami przez
\(\displaystyle{ \sqrt{A^{2} + B^{2}}\)
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} sin(x) + \frac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} sin(x) = \frac{C}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}}\)
Stosując podstawienia:
\(\displaystyle{ \frac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}=sin(y)}\)
\(\displaystyle{ \frac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}=cos(y)}\)
sprowadzamy r-nie do postaci:
\(\displaystyle{ sin(y)sin(x) + cos(y)cos(x) = \frac{C}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}\)
Wiemy,że:
\(\displaystyle{ sin(\alpha)sin(\beta) + cos(\alpha)cos(\beta)= cos(\alpha-\beta)}\)
Stąd, po podstawieniu otrzymujemy
\(\displaystyle{ cos(y-x) = \frac{C}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}\)
Wiadomo,że
\(\displaystyle{ |cos(\alpha)| }\)

[Mapedd]

a teraz uważnie przeczytaj poradnik TeX i popraw posty jesli łaska, zauważ o ile moj post jest czytelniejszy

edit:

przydało by sie zebys pokazał że \(\displaystyle{ \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} = siny}\) i \(\displaystyle{ \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} = cosy}\)