z logarytmem

[BrYcH]

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \cos x}\):

Wyznacz te wartości parametru \(\displaystyle{ t}\), dla których równanie \(\displaystyle{ \log _ {\frac{1}{3}}(x+1)- \log _ {\frac{1}{3}}x-f(2t)=0}\) ma rozwiązania.

Ja doprowadziłem to do postaci \(\displaystyle{ \log _ {\frac{1}{3}}\frac{x+1}{x}= \cos 2 t}\) i dalej nie wiem co z tym zrobić.

[Tomasz Rużycki]

\(\displaystyle{ \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{x+1}{x}\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(1+\frac{1}{x}\right) < \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0}\), dalej sobie poradzisz?

[Tristan]

Równanie może mieć rozwiązanie, gdy \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}_{+}}\). W zbiorze tym dane równanie jest równoważne równaniu \(\displaystyle{ \frac{x+1}{x}=a}\), gdzie \(\displaystyle{ a= \left( \frac{1}{3} \right) ^{ \cos 2t}}\). Stąd \(\displaystyle{ x=\frac{1}{a-1}}\). Zatem \(\displaystyle{ x>0 \Leftrightarrow a>1}\). Ostatnia nierówność jest równoważna nierówności \(\displaystyle{ \cos 2t<0}\). Dalej już sobie poradzisz

[BrYcH]

Powiedzmy, że rozumiem skąd wynika ta nierówność, choć nie wydaje mi się by istniał taki x dla którego równanie \(\displaystyle{ \log _ {\frac{1}{3}} \left( 1+\frac{1}{x} \right) =0}\) było prawdziwe. Poza tym nie wiem jaką to jest wskazówką w szukaniu t.

[Tomasz Rużycki]

Tam jest nierownosc ostra.

Poza tym cos2t jest rowny prawej stronie nierownosci, wiec wnioskujemy, ze musi byc cos2t

[BrYcH]

Tristan a Ty skąd wywnioskowałeś na samym początku, że x musi być >0 ?

[Tristan]

Z definicji logarytmu, w tym równaniu: \(\displaystyle{ x+1>0 \wedge x>0}\), więc w ostateczności \(\displaystyle{ x>0}\).