zadania tekstowe

[wilin1991]

Witam
Mam takie dwa zadania do rozwiązania:
1)
Sinus kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\) jest o \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) większy od kosinusa tego kąta. Oblicz \(\displaystyle{ cos \alpha}\)
2)
Wiedząc, że sinus kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{8+ \sqrt{15} }}{4}}\) oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\displaystyle{ (sin \alpha + cos \alpha ) ^{2}}\)

pozdrawiam i liczę na szybką odp.

[anna_]

1.
\(\displaystyle{ sin\alpha=cos\alpha+\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}\)
\(\displaystyle{ (cos\alpha+\frac{ \sqrt{2} }{2})^2+cos^2\alpha=1}\)

[wilin1991]

1.
\(\displaystyle{ sin\alpha=cos\alpha+\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}\)
\(\displaystyle{ (cos\alpha+\frac{ \sqrt{2} }{2})^2+cos^2\alpha=1}\)

Czy dobrze zrobiłem?
\(\displaystyle{ 2cos ^{2} \alpha + \sqrt{2}cos \alpha -1=0}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha =\frac{ \sqrt{10}- \sqrt{2} }{4}}\)

[anna_]

Powinno być:
\(\displaystyle{ 2cos ^{2} \alpha + \sqrt{2}cos \alpha - \frac{1}{2} =0}\)

2.
Tu chyba najpierw musisz z jedynki trygonometrycznej policzyć \(\displaystyle{ cos\alpha}\) a potem
\(\displaystyle{ (sin \alpha + cos \alpha ) ^{2}=sin^2\alpha+2sin\alpha cos\alpha+cos^2\alpha=1+2sin\alpha cos\alpha}\)

[Antti Siltala]

Ja bym to obliczył tak:

\(\displaystyle{ \left( cos \alpha + \frac{ \sqrt{2} }{2}\right) ^{2}+ cos^{2} \alpha=1}\)
\(\displaystyle{ cos^{2} \alpha + 2cos\alpha \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{1}{2}+cos^{2}\alpha=1}\)
\(\displaystyle{ 2cos ^{2} \alpha + \sqrt{2} cos \alpha + \frac{1}{2}=1}\)
\(\displaystyle{ 2cos ^{2} \alpha + \sqrt{2}cos \alpha = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2cos \alpha \left( cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2cos\alpha \cdot sin\alpha= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin2\alpha= \frac{1}{2}}\)
niech \(\displaystyle{ x=2\alpha}\) wtedy
\(\displaystyle{ sinx=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{6}}\) czyli
\(\displaystyle{ \alpha= \frac{\pi}{12}}\)

Tylko nie wiem czy o coś takiego chodziło bo teraz cosinus trzeba by było podać w przybliżeniu jako \(\displaystyle{ cos15^{\circ}}\) czyli jakieś \(\displaystyle{ 0,97}\)

Mam nadzieję że pomogłem, bo sam trochę się głowiłem nad tym rozwiązaniem i jestem ciekaw poprawnej odpowiedzi.

[anna_]

Trzeba było obliczyć \(\displaystyle{ cos\alpha}\), a nie kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)

[Antti Siltala]

mając kąt mamy i cosinus kąta

[anna_]

\(\displaystyle{ cos15^{\circ}}\) czyli jakieś \(\displaystyle{ 0,97}\)

Mam nadzieję że pomogłem, bo sam trochę się głowiłem nad tym rozwiązaniem i jestem ciekaw poprawnej odpowiedzi.

Watpię, żeby chodziło o jakąś przybliżoną wartość.

[Antti Siltala]

Właśnie też mi się tak wydaje aczkolwiek jeśli w treści zadania nie zostało sprecyzowane w jakiej formie ma zostać podana odpowiedź to każda odpowiedź jest dobra, byle by była zgodna z prawdą

[anna_]

\(\displaystyle{ 2cos ^{2} \alpha + \sqrt{2}cos \alpha - \frac{1}{2} =0}\)
\(\displaystyle{ 4cos ^{2} \alpha + 2\sqrt{2}cos \alpha - 1 =0}\)

Równanie kwardatowe. Delta i pierwiastki (ujemny pierwiastek odrzucamy) i mamy dokładną wartość

[wilin1991]

Powinno być:
\(\displaystyle{ 2cos ^{2} \alpha + \sqrt{2}cos \alpha - \frac{1}{2} =0}\)

2.
Tu chyba najpierw musisz z jedynki trygonometrycznej policzyć \(\displaystyle{ cos\alpha}\) a potem
\(\displaystyle{ (sin \alpha + cos \alpha ) ^{2}=sin^2\alpha+2sin\alpha cos\alpha+cos^2\alpha=1+2sin\alpha cos\alpha}\)

Te pierwsze już mam zrobione, tylko jakoś tego drugiego nie mogę.

[anna_]

A policzyłeś ten \(\displaystyle{ cos\alpha}\)?