Cosinus połowy kąta?

[honey91]

Witam, mam problem z rozwiązaniem równania:
\(\displaystyle{ 2cos (0,5x) - 0,5cosx = 1}\)

Problemem dla mnie jest jak przedstawić \(\displaystyle{ cos(0,5x)}\) za pomocą cosinusa sumy lub różnicy?

Zastanawiałam się żeby zrobić to tak:

\(\displaystyle{ cos(x - 0,5x) = cosx*cos(0,5x) + sinx \cdot sin(0,5x)}\) no ale to chyba mi nic nie da bo dalej mam ten \(\displaystyle{ cos(0,5x)}\)

Proszę o wskazówkę

[Dasio11]

Znamy:

\(\displaystyle{ \cos 2x=\cos^2 x - \sin^2 x=2\cos^2 x-1}\)

Podstawiamy: \(\displaystyle{ t=2x}\)

\(\displaystyle{ \cos t=2 \cos^2 \frac{t}{2}-1 \\
\cos \frac{t}{2}=\pm \sqrt{\frac{\cos t+1}{2}}}\)

;p

[honey91]

no tak, ale chcąc rozwiązać to równanie.. ?

więc teraz mam to plus minus 2 razy ten pierwiastek - 0,5cosx = 1 i co mogę teraz zrobić z tym równaniem ??

[Dasio11]

W tym równaniu chyba wystarczy podstawić \(\displaystyle{ 2t=x}\):

\(\displaystyle{ 2 \cos t - \frac{1}{2}\cos(2t) = 1 \\
\\
2 \cos t-\frac{1}{2}(2\cos^2 t -1)=1}\)

I równanie kwadratowe.

[honey91]

Faktycznie! nie pomyślałam o tym. Mam jeszcze tylko jedną wielką prośbę - mógłbyś sprawdzić czy to jest dobrze?


\(\displaystyle{ 2\cos\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\cos x = 1}\)
\(\displaystyle{ x = 2t, t=\frac{1}{2}x}\)
\(\displaystyle{ 2\cos t -\frac{1}{2}\cos 2t = 1}\)
\(\displaystyle{ 2\cos t - \frac{1}{2} (2\cos^2 t -1) = 1}\)
\(\displaystyle{ -\cos^2 t + 2\cos t - \frac{1}{2} = 0 /\cdot 2}\)
\(\displaystyle{ -2\cos^2 t +4\cos t - 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 8}\)
\(\displaystyle{ \cos_{1} t = \frac {-4-2\sqrt {2}}{-4} = 1+\frac {\sqrt{2}} {2} - p.obcy}\)

\(\displaystyle{ \cos_{2} t = \frac {-4+2\sqrt {2}}{-4} = 1-\frac {\sqrt{2}} {2}}\)

\(\displaystyle{ \cos\frac{x}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,29}\)

\(\displaystyle{ x_{1} \approx 73st + k\cdot 360st, k\in C}\)

\(\displaystyle{ x_{2} \approx -73st + k\cdot 360st, k\in C}\)

[Dasio11]

\(\displaystyle{ -\cos^2 t + 2\cos t \textcolor{red}{+} \frac{1}{2} = 0 \quad |\cdot (-2)}\)