Równanie z wartością bezwzględną

[BrYcH]

Rozwiąż algebraicznie i graficznie \(\displaystyle{ \sin 2 x= \cos x +| \cos x |}\)

W zasadzie nie chodzi mi tyle o zrobienie tego zadania tylko o skomentowanie mojego toku myślenia i naprowadzenie mnie na błąd jaki zrobiłem. Bo problem tkwi w tym, że ja zrobiłem to zadanie i nawet częściowo się zgadza, ale za cholere nie potrafię zrozumieć gdzie mogłem zrobić błąd.

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \sin 2 x= \cos x +| \cos x | \\
\sin 2 x= \cos 2 x \\
\sin 2 x- \sin \left( \frac{\pi}{2}+2\pi \right) =0 \\
2 \sin \left( \frac{2x-\frac{\pi}{2}-2x}{2} \right) \cos \left( \frac{2x+\frac{\pi}{2}+2x}{2} \right) =0 \\
-\sqrt{2} \cos \left( 2x+\frac{\pi}{4} \right) =0\\
\cos \left( 2x+\frac{\pi}{4} \right) =0\\
2x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}}\) -po uwzględnieniu dziedziny
\(\displaystyle{ x\in \left( \frac{\pi}{8};\frac{13}{8}\pi \right)}\)

No i ostatecznie mamy wynik \(\displaystyle{ x\in \left( \frac{\pi}{8};\pi;\frac{13}{8}\pi \right)}\)

No i rozwiązanie graficzne:
Dla \(\displaystyle{ \cos x \ge 0}\)

[Lorek]

Dla \(\displaystyle{ cos x \geq 0}\) masz \(\displaystyle{ 2\cos x}\), a nie \(\displaystyle{ \cos 2x}\).

[BrYcH]

OO... to żeś mnie zaciął, a ja przez pół dnia zachodziłem w głowę co jest nie tak mimo wszystko dzięki żeś mnie oświecił

[Yrch]

Tak formalnie jesli \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\) to \(\displaystyle{ \cos x<0}\) jest dla \(\displaystyle{ x\in \left( \frac{\pi}{2}+2k\pi;\frac{3\pi}{2}+2k\pi \right)}\) itp.

[BrYcH]

oczywiście