Dowieść, że dla kątów \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\), \(\displaystyle{ \gamma}\)dowolnego trójkąta zachodzi nierówność \(\displaystyle{ sin \frac{\alpha}{2}+sin \frac{\beta}{2}+sin \frac{\gamma}{2} \le \frac{3}{2}}\).
Jak to udowodnić za pomocą nierówności Jensena ?
Nierówność trygonometryczna Jensen
-
Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Nierówność trygonometryczna Jensen
Funkcja sinus jest wklęsła na \(\displaystyle{ (0, \frac{\pi}{2})}\) więc:
\(\displaystyle{ \sin( \frac{1}{3} \cdot \frac{\alpha}{2}+\frac{1}{3} \cdot \frac{\beta}{2}+\frac{1}{3} \cdot \frac{\gamma}{2}) \ge \frac{1}{3}(\sin\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2})}\)
\(\displaystyle{ \sin( \frac{\alpha+\beta+\gamma}{6}) \ge \frac{1}{3}(\sin\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2})}\)
\(\displaystyle{ 3\sin( \frac{\pi}{6}) \ge \sin\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{2} \ge \sin\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin( \frac{1}{3} \cdot \frac{\alpha}{2}+\frac{1}{3} \cdot \frac{\beta}{2}+\frac{1}{3} \cdot \frac{\gamma}{2}) \ge \frac{1}{3}(\sin\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2})}\)
\(\displaystyle{ \sin( \frac{\alpha+\beta+\gamma}{6}) \ge \frac{1}{3}(\sin\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2})}\)
\(\displaystyle{ 3\sin( \frac{\pi}{6}) \ge \sin\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{2} \ge \sin\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}}\)