Ciekawa tożsamość

[frej]

Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \boxed{\sqrt{3} \ctg \frac{\pi}{9} -4 \cos \frac{\pi}{9}=1}}\)

Moi koledzy mieli to na sprawdzianie i dali mi to do zrobienia. Ciekawy jestem waszych propozycji rozwiązania

[lukasz1804]

Mamy równoważnie \(\displaystyle{ \sqrt{3}\cos\frac{\pi}{9}-4\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9}=\sin\frac{\pi}{9}}\). Stąd \(\displaystyle{ \sqrt{3}\cos\frac{\pi}{9}-2\sin\frac{2\pi}{9}=\sin\frac{\pi}{9}}\), tj. \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\frac{\pi}{9}-\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{9}=\sin\frac{2\pi}{9}}\). Zatem \(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{9}-\cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{9}=\sin\frac{2\pi}{9}}\), tj. \(\displaystyle{ \sin(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{9})=\sin\frac{2\pi}{9}}\). Przejściami równoważnymi doszliśmy do oczywistej tożsamości, więc wyjściowy wzór również jest tożsamością.

Warto byłoby tylko przeprowadzić dowód bardziej formalnie, przechodząc równościami od lewej strony do prawej.

[frej]

Bardzo fajnie. Ja zrobiłem trochę topornie, ale wyszło
Najpierw do kwadratu i podstawienie \(\displaystyle{ t=\cos \frac{\pi}{9}}\) plus skorzystanie z tego, że \(\displaystyle{ 8t^3-6t-1=0}\)

[Dasio11]

\(\displaystyle{ 8(\cos \frac{\pi}{9})^3-6\cos \frac{\pi}{9}-1=0}\) ?

[frej]

Tak.

[patry93]

Przepraszam, ale mam pytanie troszkę nie związane z samą ideą tego tematu - w której klasie na sprawdzianie pojawiło się to zadanie i na jaką było ocenę?

[frej]

To jest druga klasa liceum, ale materiał licealny robimy już od 3 gimnazjum. Z tego co pamiętam, to cały sprawdzian był na 6, a to było drugie od końca zadanie, jakoś tak. Dodam, że to było w grupie średniej z matmy ( która przerabia materiał do matmy rozszerzonej ), ale chyba tam nikt nie zrobił, choć tego nie jestem zbyt pewny...