Nierównośc trygonometryczna
-
- Użytkownik
- Posty: 659
- Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów
- Podziękował: 136 razy
- Pomógł: 54 razy
Nierównośc trygonometryczna
Niech \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\), \(\displaystyle{ \gamma}\)będą miarami kątów dowolnego trójkąta. Pokazać że : \(\displaystyle{ cos\alpha +cos\beta +cos\gamma \le \frac{3}{2}}\) .
Nierównośc trygonometryczna
Baardzo znane zadanie. Najprościej jest skorzystać z tożsamości
\(\displaystyle{ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1+\frac{r}{R}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1+\frac{r}{R}}\)
Nierównośc trygonometryczna
Zasadniczo to jest dosyć znane. Nie pamiętam, gdzie zobaczyłem to po raz pierwszy. Jak chcesz trochę bardziej elementarny dowód, to leci on jakoś tak:
\(\displaystyle{ \sum \cos \alpha = 2 \cos \frac{\alpha + \beta }{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \gamma \le 2\sin \frac{\gamma}{2} + (1-2\sin^2 \frac{\gamma}{2}) \le \frac{3}{2} \; \; \Leftrightarrow \; \; 0\le \left( 2\sin \frac{\gamma}{2}-1 \right)^2}\)
\(\displaystyle{ \sum \cos \alpha = 2 \cos \frac{\alpha + \beta }{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \gamma \le 2\sin \frac{\gamma}{2} + (1-2\sin^2 \frac{\gamma}{2}) \le \frac{3}{2} \; \; \Leftrightarrow \; \; 0\le \left( 2\sin \frac{\gamma}{2}-1 \right)^2}\)