Nierównośc trygonometryczna

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
szymek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 659
Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów
Podziękował: 136 razy
Pomógł: 54 razy

Nierównośc trygonometryczna

Post autor: szymek12 »

Niech \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\), \(\displaystyle{ \gamma}\)będą miarami kątów dowolnego trójkąta. Pokazać że : \(\displaystyle{ cos\alpha +cos\beta +cos\gamma \le \frac{3}{2}}\) .
frej

Nierównośc trygonometryczna

Post autor: frej »

Baardzo znane zadanie. Najprościej jest skorzystać z tożsamości
\(\displaystyle{ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1+\frac{r}{R}}\)
szymek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 659
Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów
Podziękował: 136 razy
Pomógł: 54 razy

Nierównośc trygonometryczna

Post autor: szymek12 »

Skąd wziąłeś taki związek?
frej

Nierównośc trygonometryczna

Post autor: frej »

Zasadniczo to jest dosyć znane. Nie pamiętam, gdzie zobaczyłem to po raz pierwszy. Jak chcesz trochę bardziej elementarny dowód, to leci on jakoś tak:
\(\displaystyle{ \sum \cos \alpha = 2 \cos \frac{\alpha + \beta }{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \gamma \le 2\sin \frac{\gamma}{2} + (1-2\sin^2 \frac{\gamma}{2}) \le \frac{3}{2} \; \; \Leftrightarrow \; \; 0\le \left( 2\sin \frac{\gamma}{2}-1 \right)^2}\)
ODPOWIEDZ