nierówność trygonometryczna

[szymek12]

Dowieść, że dla \(\displaystyle{ 0<x \le y< \frac{\pi}{2}}\) prawdziwe są nierówności: \(\displaystyle{ \frac{sinx}{x} \ge \frac{siny}{y}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{tgx}{x} \le \frac{tgy}{y}}\).

[frej]

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{\sin x}{x}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{x\cos x - \sin x }{x^2}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)<0}\) bo \(\displaystyle{ x\le \tg x}\) (bardzo znane)

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{\sin x}{x\cos x}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{x\cos^2 x -\sin x \left( \cos x -x\sin x \right)}{x^2 \cos^2 x} = \frac{x-\frac{1}{2} \sin 2x}{x^2 \cos^2 x}}\)
Ale zachodzi \(\displaystyle{ \sin x \le x}\) skąd \(\displaystyle{ f'(x)>0}\)