Rozwiąż równanie

[BrYcH]

\(\displaystyle{ \tg x + \ctg x =4 \sin 2 x}\)

Już próbowałem zamieniać na sin i tg i nic mi nie wychodzi, jakieś pierwiastki albo brak rozwiązań. Proszę o jakieś wskazówki.

[robert179]

\(\displaystyle{ \frac{ \sin x }{ \cos x }+\frac{ \cos x }{ \sin x }=8 \sin x \cdot \cos x}\)

Mi wyszło coś takiego. Tylko, że jak to podzielimy przez mianownik, to zostanie \(\displaystyle{ 1=8}\).

[Grzegorz Getka]

Najpierw rozpisujesz g x i ctg x i otrzymujesz:

\(\displaystyle{ \Large \frac{ \sin x }{ \cos x }+\frac{ \cos x }{ \sin x }=4 \sin 2 x}\)

Robisz współny mianownik i wykorzystujesz jedynkę trygonometryczną i dostajesz:

\(\displaystyle{ \Large \frac{1}{ \sin x \cos x }=4 \sin 2 x}\)

Mianownik zamieniasz na sin 2 x i otrzymujesz:

\(\displaystyle{ \Large \frac{2}{ \sin 2 x}=4 \sin 2 x}\)

Kolejne przekształcenie:

\(\displaystyle{ \Large \sin ^ {2}2x=\frac{1}{2}}\)

Ostatecznie do rozwiązania pozostaje prosta rzecz:

\(\displaystyle{ \Large \sin 2 x=\frac{\sqrt{2}}{2}\qquad \vee \qquad \sin 2 x= - \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Ahh... Rozwiąże Ci do końca:

Pierwszy pierwiastek:

\(\displaystyle{ \Large 2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \qquad \vee \qquad 2x=\frac{3}{4}\pi+2k\pi}\)

Drugi pierwiastek:

\(\displaystyle{ \Large 2x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi \qquad \vee \qquad 2x=-\frac{3}{4}\pi +2k\pi}\)

Stronami dzielę przez dwa i zostają gotowe rozwiązania:

\(\displaystyle{ \Large x=\frac{\pi}{8}+k\pi \qquad \vee \qquad x=\frac{3}{8}\pi+k\pi}\)

\(\displaystyle{ \Large x=-\frac{\pi}{8}+k\pi \qquad \vee \qquad x=-\frac{3}{8}\pi +k\pi}\)