nierówność trygonometryczna

[jakkubek]

Przy założeniu, że \(\displaystyle{ x\in \left( \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2} \right)}\) oblicz nierówność:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1- \sin ^ {2}x}+2 \sin ^ 2x<3}\)

[Tristan]

Zauważmy, że pierwszy składnik sumy po lewej stronie przyjmuje maksymalnie wartość równą 1 a drugi max. 2. Gdy pierwszy składnik jest równy jeden, wtedy drugi jest równy zero, a gdy drugi jest równy dwa, wtedy pierwszy jest mniejszy od jedynki, dlatego też nierówność spełniona jest zawsze dla \(\displaystyle{ x \in ( \frac{\pi}{2}; \frac{3 \pi}{2} \right)}\).