Rownanie trygonometryczne

[jakkubek]

Mam pytanie, czy w przedstawionym poniżej sposob rozwiązywania jest prawidlowy?
\(\displaystyle{ \sin x + \cos x + \tg x + \ctg x =\frac{1}{ \sin x \cos x } \\
Z: x\neq k\pi \wedge x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi \\
\sin x + \cos x + \tg x + \ctg x =\frac{1}{ \sin x \cos x } /\sin x \cos x \\
\sin ^ 2x\cos+ \sin x \cos ^ x+ \sin ^ 2x+ \cos ^ 2x=1 \\
\left( 1- \cos ^ 2x \right) \cos x =- \cos ^ 2x \sqrt{1- \cos ^ 2x}/^2\\}\)
Co do tego mam największe wątpilowści
\(\displaystyle{ \cos ^ 2x \left( \cos ^ 4x-2 \cos x +1 \right) =0}\)

Jeśli w wyniku którychkolwiek przekształceń popełniłem błąd, to bardzo proszę o wskazanie go.

[ariadna]

A może tak?

\(\displaystyle{ \sin ^ {2}x \cos x + \sin x \cos ^ {2}x+ \sin ^ {2}x+ \cos ^ {2}x=1 \\
\sin x \cos x \left( \sin x + \cos x \right) +1=1 \\
\sin x \cos x \left( \sin x + \cos x \right) =0}\)
Dalej chyba jasne.

[jakkubek]

W tym kierunku też szedłem. Tylko teraz trzeba rozpatrzyć wszstkie przyadki kiedy \(\displaystyle{ \sin x =- \cos x}\)
lub \(\displaystyle{ \cos x =- \sin x}\) i to mnie trochę zmylliło.

[Tristan]

\(\displaystyle{ \sin x=0 \cos x=0 \sin x+ \cos x=0}\)
Pierwsze dwa przypadki są elementarne. A trzeciego nie trzeba rozpatrywać na kilka sposobów, bo nie ma takiej potrzeby. W końcu z wzorów redukcyjnych mamy, że \(\displaystyle{ \cos x=\sin (90^{\circ} -x)}\) więc:
\(\displaystyle{ \sin x+ \sin (90^{\circ} -x)=0}\), teraz oczywiście korzystasz z wzoru na sumę sinusów i masz
\(\displaystyle{ 2 \sin \frac{ x+ 90^{\circ} -x}{2} \cos \frac{ x- 90^{\circ} +x}{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \sin 45^{\circ} \cos (x - 45^{\circ})=0}\) i tutaj również masz już dwa przypadki elementarne.