Rozwiaż nierówność trygonometryczną

[Tama]

Rozwiąż nierówność:

\(\displaystyle{ \sin x + \cos x \le 1}\)

[Skrzypu]

\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=2\sin \left( \frac{x+x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x-x}{2} \right)}\)

więc

\(\displaystyle{ 2\sin \left( \frac{x+x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x-x}{2} \right)\le 1}\)

\(\displaystyle{ 2\sin \left( \frac{2x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac02 \right) \le 1}\)

\(\displaystyle{ 2\sin x \cdot \cos 0\le 1}\)

\(\displaystyle{ 2\sin x \cdot 1\le 1}\)

\(\displaystyle{ \sin x\le \frac12}\)

\(\displaystyle{ x \in \left( -\frac{2\pi}{3}+2k\pi, \frac{\pi}{6}+2k\pi \right) , k \in C}\)

[Tama]

Dziękuję za pomoc

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=2\sin \left( \frac{x+x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x-x}{2} \right)}\)

Ja znalazłem, więc ktoś inny też może... A to taki ślicznie nieprawdziwy wzór.

Powinno być

\(\displaystyle{ \sin x+\red\sin x\black=2\sin \left( \frac{x+x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x-x}{2} \right)}\)

co oczywiście nijak nie pomaga w rozwiązaniu zadania...

JK

[piasek101]

Proponuję szkic lewej strony w przedziale od zera do dwa pi.
Prosta \(\displaystyle{ y=1}\) trafia go w ładne miejsca.

[Premislav]

Dla porządku przedstawmy poprawne rozwiązanie zadania:
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=\sin x+\sin\left( \frac \pi 2-x\right)=\\=2\sin\left( \frac{x+\frac \pi 2 -x}{2} \right) \cos\left( \frac{x-\left( \frac \pi 2-x\right) }{2} \right)=\sqrt{2}\cos\left( x-\frac \pi 4\right)}\)
Zatem mamy
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x \le 1 \Leftrightarrow \sqrt{2}\cos\left( x-\frac \pi 4\right) \le 1 \Leftrightarrow \cos\left( x-\frac \pi 4\right) \le \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x-\frac \pi 4 \in \left[ \frac \pi 4+2k\pi, \frac 7 4 \pi+2k\pi\right] \Leftrightarrow x \in\left[ \frac \pi 2+2k \pi, 2\pi+2k\pi\right], k \in \ZZ}\)
Zastosowałem wzór na sumę sinusów. Rozwiązanie końcowej nierówności już idzie ze spojrzenia na wykres.