Przekształcenia; Oblicz

[lingen]

Dla pewnego kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\) prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ \tg \alpha + \frac{1}{\tg \alpha } = \frac{5}{\sin \alpha }}\)

Oblicz wartości \(\displaystyle{ \sin \alpha, \cos \alpha ,\tg \alpha}\)

No więc wykorzystując podstawowe własności takie jak jedynka trygonometryczna i \(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\)

Udało mi sie policzyć \(\displaystyle{ \cos\alpha}\).
Wyszło \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\), czyli tak jak z kluczem. Ale żeby miały mi wyjść pozostałe wyniki to byłoby za pięknie...
Według klucza \(\displaystyle{ \sin\alpha = \frac{2 \sqrt{6} }{5}}\) natomiast \(\displaystyle{ \tg\alpha = 2 \sqrt{6}}\) I jak do tego doszło ;/ ?

[Sherlock]

Mając cosinus, sinus policz z jedynki trygonometrycznej.

[lukasz1804]

Znając \(\displaystyle{ \cos\alpha}\), obliczysz \(\displaystyle{ \sin\alpha}\) korzystając tylko z jedynki trygonometrycznej i założenia, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym (wtedy musi być \(\displaystyle{ \sin\alpha>0}\)). Następnie \(\displaystyle{ \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\).

[lingen]

Hmm no nie wiem... jedziemy:

\(\displaystyle{ \tg \alpha + \frac{1}{\tg \alpha } = \frac{5}{\sin \alpha }}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{5}{\sin\alpha}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha * \cos\alpha} = \frac{5}{\sin\alpha}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin\alpha * \frac{1}{5}} = \frac{5}{\sin\alpha}}\)

\(\displaystyle{ \frac{sin\alpha}{5}= \frac{\sin\alpha}{5}}\)

\(\displaystyle{ sin\alpha= \sin\alpha}}\)
Tak mi wychodzi, czyli bez sensu ;p...

[Sherlock]

Nie utrudniaj sobie obliczeń
\(\displaystyle{ sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}\)
podstaw cos i wylicz sin

[lingen]

Czy ktoś potrafi mi pomóc?

[Sherlock]

No przecież piszę, podstaw wyliczony cosinus do jedynki trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}\)
\(\displaystyle{ sin^2\alpha=1- (\frac{1}{5})^2}\)
\(\displaystyle{ sin^2\alpha= \frac{24}{25}}\)
Wylicz \(\displaystyle{ sin\alpha}\), bierzesz pod uwagę wartość dodatnią ponieważ kąt alfa jest ostry (I ćwiartka, tam kąty mają sinus dodatni). Mając sinus i cosinus wyliczysz tangens

[lingen]

A no faktycznie, Pisałem już kiedyś że ciężko mi zauważyć pewne banalne rzeczy ;p Skoro wyliczyłem cosinusa z tego równania to jest wartość odnosi się jakby już do tego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), więc mogę to wstawić do 1 trygonometrycznej i wyliczony sinus będzie już tym szukanym. Wcześniej tego nie zauważyłem, słaby ze mnie umysł matematyczny;p.

A takie pytanie czemu nie wyszło mi z tych przekształceń, gdzie popełniłem kolejną gafę ;p?

Dziękuję Sherlock'u za cierpliwość =]

[Sherlock]

A takie pytanie czemu nie wyszło mi z tych przekształceń,

podejrzewam, że poprzez te przekształcenia:

\(\displaystyle{ \tg \alpha + \frac{1}{\tg \alpha } = \frac{5}{\sin \alpha }}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{5}{\sin\alpha}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha * \cos\alpha} = \frac{5}{\sin\alpha}}\)

(przy odpowiednich założeniach) wyliczyłeś cos czyli:
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{1}{5}}\)

Potem wprowadzałeś \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{1}{5}}\) ponownie to tego wzoru... chciałeś wyliczyć sinus, a tak naprawdę sprawdzałeś czy obliczony cosinus spełnia te równanie (a wiemy, że spełnia bo z tego równania ten cosinus wyznaczyłeś i stąd na końcu wychodzi Ci \(\displaystyle{ sin\alpha=sin\alpha}\) czyli \(\displaystyle{ 1=1}\), przy okazji zauważ, że w równaniu sinus się skraca więc nie da się go z niego wyznaczyć). Masło maślane, podsumowując musisz znaleźć inny przepis na sinus np. jedynkę trygonometryczną

[lingen]

przy okazji zauważ, że w równaniu sinus się skraca więc nie da się go z niego wyznaczyć

Skraca się? gdzie? Bo otóż w tym sęk żeby zauważyć co najpierw policzyć. Skąd miałbym wiedzieć, że mogę policzyć z tego równania tylko cosinus, a potem dopiero skorzystać z innych własności? Bo chodzi o to żeby nie tracić czasu. W takim razie na co najpierw patrzeć, co zauważyć ;p? Proszę o jakieś logiczne, opisowe wytłumaczenie. Dziękuję

[Sherlock]

Podejrzewam, że tak wyliczyłeś cosinus:
\(\displaystyle{ \tg \alpha + \frac{1}{\tg \alpha } = \frac{5}{\sin \alpha }}\) , \(\displaystyle{ tg\alpha \neq 0, sin\alpha \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{5}{\sin\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha * \cos\alpha} = \frac{5}{\sin\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{sin\alpha cos\alpha}= \frac{5}{sin\alpha}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha=5sin\alpha cos\alpha}\)
i teraz możemy skrócić sinus aby otrzymać cosinus i mamy
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{1}{5}}\)

Jeśli jednak inaczej liczyłeś cosinus to napisz...