tożsamość

marian · Post autor: **marian** » 23 kwie 2006, o 11:35

witam, mam problem z następującą tożsamością
\(\displaystyle{ sin^3x+cos^3x=1}\)
będę wdzięczny za pomoc

Rogal · Post autor: **Rogal** » 23 kwie 2006, o 11:45

Nie problem, bo to nie jest tożsamość. Co najwyżej można rozwiązać takie równanie.

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 23 kwie 2006, o 11:48

\(\displaystyle{ x=\frac{\pi }{2} +2k\pi ,2k\pi, k\in C}\)

Lorek · Post autor: **Lorek** » 23 kwie 2006, o 14:53

LecHu pisze:\(\displaystyle{ x=\frac{k\pi }{2}, k\in C}\)

Dla k=3 równanie przyjmuje wartość -1.

marian · Post autor: **marian** » 23 kwie 2006, o 20:14

dzieki, ale wlasciwie jak do tego doszliscie? bo mi sam wynik niestety duzo nie mowi

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 23 kwie 2006, o 20:31

To trzeba udowodnic, ze tylko jak wartosc sinusa jest rowna zero a cosinusa 1 i na odwrot ta rownanie jest spelniona.Lorek Juz poprawiam.

Lorek · Post autor: **Lorek** » 23 kwie 2006, o 20:33

Metodą prób i błędów
Rozwiązaniami są na pewno \(\displaystyle{ x=2k\pi \. x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \: k\in \mathbb{C}}\)
Jak trochę pokombinuję to może napiszę rozwiązanie

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 23 kwie 2006, o 20:46

\(\displaystyle{ sin^{2}xsinx+cos^{2}xcosx=1\\(1-cos^{2}x)sinx+cos^{2}xcosx=1}\)
\(\displaystyle{ sinx-cos^{2}x(sinx+cosx)=1}\)
Z tego trzeba wyciagnac takie wnioski (chyba):
Zeby udowodnic ze dla innych wartosci tych funkcji niz 0 i 1, czyli w tym wypadku wartosci i sinx ,i cosx sa ulamkami. Wyrazenie w nawiasie osiagnie maksymalnie wartosc: √2, i dla kazdego sinx i cosx ulamkowego nie bedzie liczba calkowita.cos�x jest ulamkiem, wiec iloczyn tego w nawiasie i tego cos^2x bedzie nadal ulamkiem. Jezeli odejmiemy To od tego sinx to to bedzie jakas liczba niewymierna, bo oprocz tych katow cwiartkowych, zaden kat nie ma wartosci cos i sin wymiernej (nie jestem pewien ), wiec to nigdy nie bedzie jeden.
Troche to pokretne ale nie wiem jak inaczej wytlumaczyc.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 23 kwie 2006, o 21:46

To trzeba zgnieść zmasowanym obstrzałem artylerii

:
\(\displaystyle{ \sin^{3} x + \cos^{3} x = 1 \\ (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) = 1 \\ \sin x + \cos x = \frac{1}{1 - \sin x \cos x} \\ \\ \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \\ (\sin x + \cos x)^{2} - 2 \sin x \cos x = 1 \\ \frac{1}{(1- \sin x \cos x)^{2}} - 2 \sin x \cos x = 1 \\ t = \sin x \cos x \text{ , zalozmy sobie dla bezpieczenstwa, ze } t \in (-1, 1) \\ \frac{1}{t^{2}-2t+1} - 2t = 1 \ / \cdot (t^{2}-2t+1) \\ 1 - 2t^{3} + 4t^{2} - 2t = t^{2} - 2t + 1 \\ -2t^{3} + 3t^{2} = 0 \\ t^{2}(2t-3)=0 \\ t_{1} = 0, t_{2} = \frac{3}{2} \text{ , co oczywiscie odpada patrzac na zalozenie, wiec } t = 0 \\ \sin x \cos x = 0 \\ \sin x + \cos x = \frac{1}{1} = 1 \\ \text{mamy wiec uklad rownan z iloczynem i suma dwoch liczb,} \\ \text{z ktorego otrzymamy rownanie kwadratowe, deltka: } \\ \Delta = 1^{2} - 4 \cdot 0 = 1, \sin x = \frac{1 - 1}{2} = 0, \cos x = \frac{1+1}{2} = 1 \text{ badz odwrotnie, co na jedno wychodzi} \\ \text{teraz najlepiej narysowac sinusoide i cosinusoide i znalezc odpowiednie iksy}}\)

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 23 kwie 2006, o 21:49

Jestem pod wrazeniem

kotek · Post autor: **kotek** » 24 kwie 2006, o 01:45

Rogal pisze:To trzeba zgnieść zmasowanym obstrzałem artylerii :

Nie trzeba.
\(\displaystyle{ sin^{3} x + \cos^{3} x = sin^{2} x + \cos^{2} x}\) itd.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 24 kwie 2006, o 15:37

Jak mam rozumieć to "itd." ?

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 24 kwie 2006, o 17:32

Ona zachowuje sie dokladnie jak Anatol, pisze takie same bezsensowne i nie potrzebne komentarze. Jest to znakiem ze chce chyba sobie odpoczac od forum

kotek · Post autor: **kotek** » 24 kwie 2006, o 18:38

Bezsensowny i niepotrzebny to ty jesteś, a jeśli chodzi o "itd", to trzeba przenieść prawą stronę na lewą i wszystko ładnie rozkłada się.

juzef · Post autor: **juzef** » 24 kwie 2006, o 18:51

LecHu pisze:Ona zachowuje sie dokladnie jak Anatol, pisze takie same bezsensowne i nie potrzebne komentarze.

Ona nie zachowuje się jak Anatol. To jest Anatol. Nie wnioskuję o bana, bo nie uważam żeby był konieczny. Na koncie kotek nie wbija adminom i modom, więc z mojej strony wszystko gra.