Udowodnij nierówności:
\(\displaystyle{ cos \alpha +cos\beta-cos( \alpha +\beta) \le \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha +cos\beta+2cos( \alpha +\beta) \ge - \frac{9}{4}}\)
Zeszło mi na nie dobre 5 stron A4 a nic konkretnego nie wyszlo :/
Udowodnij nierówności
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Udowodnij nierówności
Z uwagi na wzory:
\(\displaystyle{ \cos a + \cos b =2\cos \frac{a+b}{2} \cos\frac{a-b}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos a = 2\cos^2\frac{a}{2}-1}\)
mamy:
\(\displaystyle{ \cos \alpha +\cos\beta -\cos( \alpha +\beta) =
2\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} -2 \cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}+1 \leq \\ \leq
2\left| \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\right |- 2\cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2} +1}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ \cos \frac{\alpha+\beta}{2}=a}\)
\(\displaystyle{ \dots = 2|a|-2a^2+1=\frac{3}{2} - 2 \left( |a|-\frac{1}{2}\right)^2 \leq \frac{3}{2}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \cos \alpha +\cos\beta +2\cos( \alpha +\beta) =
2\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} +4 \cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}-2 \geq \\ \geq
-2 \left| \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \right| + 4\cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2} -2}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ \cos \frac{\alpha+\beta}{2}=a}\)
\(\displaystyle{ \dots = -2|a|+4a^2-2= \frac{1}{4}\left( 4|a|- 1\right)^2 - \frac{9}{4} \geq -\frac{9}{4}}\)
Q.
\(\displaystyle{ \cos a + \cos b =2\cos \frac{a+b}{2} \cos\frac{a-b}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos a = 2\cos^2\frac{a}{2}-1}\)
mamy:
\(\displaystyle{ \cos \alpha +\cos\beta -\cos( \alpha +\beta) =
2\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} -2 \cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}+1 \leq \\ \leq
2\left| \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\right |- 2\cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2} +1}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ \cos \frac{\alpha+\beta}{2}=a}\)
\(\displaystyle{ \dots = 2|a|-2a^2+1=\frac{3}{2} - 2 \left( |a|-\frac{1}{2}\right)^2 \leq \frac{3}{2}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \cos \alpha +\cos\beta +2\cos( \alpha +\beta) =
2\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} +4 \cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}-2 \geq \\ \geq
-2 \left| \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \right| + 4\cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2} -2}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ \cos \frac{\alpha+\beta}{2}=a}\)
\(\displaystyle{ \dots = -2|a|+4a^2-2= \frac{1}{4}\left( 4|a|- 1\right)^2 - \frac{9}{4} \geq -\frac{9}{4}}\)
Q.
Ostatnio zmieniony 11 paź 2009, o 20:44 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
-
KaMyLuS
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 21 lis 2006, o 23:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 3 razy
Udowodnij nierówności
Zaraz zaraz, dobrze ze mi kumpel to wyłapał...
\(\displaystyle{ 2\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} -2 \cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}+1 \leq \\ \leq
2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}- 2\cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2} +1}\)
Jesli
\(\displaystyle{ 2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}}\) będzie ujemny i \(\displaystyle{ \cos\frac{\alpha-\beta}{2}}\) tez bedzie ujemny to ta nierownosc nie zajdzie...
\(\displaystyle{ 2\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} -2 \cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}+1 \leq \\ \leq
2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}- 2\cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2} +1}\)
Jesli
\(\displaystyle{ 2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}}\) będzie ujemny i \(\displaystyle{ \cos\frac{\alpha-\beta}{2}}\) tez bedzie ujemny to ta nierownosc nie zajdzie...