nierówność z sinusem

[Nex Vaclav Friedrich]

Wykaż że: \(\displaystyle{ \sin ^{2}x<\sin x ^{2}}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\)

[Brzytwa]

Rozpatrzmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)= \sin x ^{2} - \sin ^{2}x}\), \(\displaystyle{ x in [0,1)}\). Pokażę, że jest ona nieujemna, a wartość \(\displaystyle{ 0}\) otrzymuje jedynie dla \(\displaystyle{ x=0}\). Oczywiście \(\displaystyle{ f(0)=0}\). Policzmy teraz pochodną tej funkcji:

\(\displaystyle{ f'(x)= \cos x^{2} \cdot 2x - 2 \sin x \cdot \cos x}\)

Będę chciał pokazać, że pochodna jest w całej dziedzinie dodatnia. Wówczas otrzymalibyśmy, że fukncja \(\displaystyle{ f}\) jest silnie rosnąca, co dawałoby nam tezę zadania. Skorzystajmy z następujących 2 nierówności:

\(\displaystyle{ x> \sin x}\)

\(\displaystyle{ cos\x^{2}> \cos x}\)

Druga nierówność wynika z faktu, że \(\displaystyle{ x>x^{2}}\) oraz, że cosinus jest w tym przedziale funkcją silnie malejącą. Ponieważ w powyższych nierównościach występują same dodatnie liczby, tak więc możemy pomnożyć je stronami:

\(\displaystyle{ x \cdot \cos x^{2}>\sin x \cdot \cos x}\)

Po przemnożeniu przez 2 otrzymamy, iż pochodna jest rzeczywiście dodatnia, co kończy dowód.