Pewnie łatwe (i podstawowe), ale ja nic nie czaje na tych studiach i nie mogę znaleźć dowodu uzasadnienia...
\(\displaystyle{ arcsinx+arccosx= \frac{ \Pi }{2}}\)
Pozdrawiam...
Uzasadnij tożsamość
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Uzasadnij tożsamość
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ \arcsin x= a}\), gdzie \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\pi \leq a \leq \frac{1}{2}\pi}\)
\(\displaystyle{ \arccos x = b}\), gdzie \(\displaystyle{ 0 \leq b \leq \pi}\)
Wówczas z definicji:
\(\displaystyle{ \sin a = x \\
\cos b = x}\)
czyli
\(\displaystyle{ \cos b = \sin a}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{\pi}{2} - b \right) = \sin a}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ a, \left( \frac{\pi}{2} - b \right) \in \left[- \frac{1}{2}\pi , \frac{1}{2}\pi \right]}\), a w tym przedziale sinus jest różnowartościowy, oznacza to, że \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} - b= a}\), czyli:
\(\displaystyle{ a+b= \frac{\pi}{2}}\)
czego należało dowieść.
Q.
\(\displaystyle{ \arcsin x= a}\), gdzie \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\pi \leq a \leq \frac{1}{2}\pi}\)
\(\displaystyle{ \arccos x = b}\), gdzie \(\displaystyle{ 0 \leq b \leq \pi}\)
Wówczas z definicji:
\(\displaystyle{ \sin a = x \\
\cos b = x}\)
czyli
\(\displaystyle{ \cos b = \sin a}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{\pi}{2} - b \right) = \sin a}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ a, \left( \frac{\pi}{2} - b \right) \in \left[- \frac{1}{2}\pi , \frac{1}{2}\pi \right]}\), a w tym przedziale sinus jest różnowartościowy, oznacza to, że \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} - b= a}\), czyli:
\(\displaystyle{ a+b= \frac{\pi}{2}}\)
czego należało dowieść.
Q.