Sprawdź tożsamość

[HunterPL]

\(\displaystyle{ \frac{1-tg^2\alpha}{1+tg^2\alpha}=1-2sin^2\alpha}\)
Nie mam pojęcia jak to rozwiązać.

[anna_]

Na początek zamień \(\displaystyle{ tg\alpha= \frac{sin\alpha}{cos\alpha}}\) i przekształcaj lewą stronę równania

[agulka1987]

\(\displaystyle{ L= \frac{1- \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha} }{1+\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha} } = \frac{ \frac{cos^2\alpha - sin^2\alpha}{cos^2\alpha} }{ \frac{cos^2\alpha+sin^2\alpha}{cos^2\alpha} } = cos^2\alpha - sin^2\alpha = 1-sin^2\alpha-sin^2\alpha = 1-2sin^2\alpha}\)

[HunterPL]

Na sprawdzianie miałem sprawdzić tożsamość:
\(\displaystyle{ 1+tg^2\alpha=\frac{1}{cos^2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ L = 1+\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}\)

Pomnożyłem więc licznik i mianownik przez wspólny mianownik, czyli (żeby mi się nic nie pokręciło pomnożyłem również przez 1) przez 1 i przez \(\displaystyle{ cos^2\alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{1 * \left( 1 \right) \left( cos^2 \alpha \right) }{ 1 * \left( 1 \right) \left( cos^2 \alpha \right)} + \frac{sin^2 \alpha * \left( 1 \right) \left( cos^2 \alpha \right) }{ cos^2 \alpha * \left( 1 \right) \left( cos^2 \alpha \right)}}\)

Skróciłem po lewej \(\displaystyle{ 1}\) w liczniku i mianowniku, a po prawej \(\displaystyle{ cos^2\alpha}\) także w mianowniku i liczniku. Wyszło mi więc:

\(\displaystyle{ \frac{cos^2\alpha+sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}\), więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{cos^2\alpha}=P}\)

Poprawnie?

[agulka1987]

TAK

[Krzysztof44]

W tablicach jest podany wzór na cosinus podwójnego kąta, a mianowicie \(\displaystyle{ cos2x=\frac{1-tg^2\alpha}{1+tg^2\alpha}}\). Można pójść w tym przypadku na taką łatwiznę?

[HunterPL]

TAK

Mnie się też tak wydawało, że dobrze.. pani mi tego zadania nie zaliczyła, nawet nie dała ANI JEDNEGO punktu.. brakowało mi tego zadania, by mieć ocenę wyżej

[wilin1991]

\(\displaystyle{ L= \frac{1- \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha} }{1+\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha} } = \frac{ \frac{cos^2\alpha - sin^2\alpha}{cos^2\alpha} }{ \frac{cos^2\alpha+sin^2\alpha}{cos^2\alpha} } = cos^2\alpha - sin^2\alpha = 1-sin^2\alpha-sin^2\alpha = 1-2sin^2\alpha}\)

Może mi ktoś napisać skąd wzięła się jedynka w przed ostatnim równaniu?
\(\displaystyle{ cos ^{2} \alpha-sin ^{2}x=1-sin ^{2} \alpha -sin ^{2} \alpha}\)

pozdrawiam

[anna_]

\(\displaystyle{ cos^2\alpha=1-sin^2\alpha}\)