Wyznacz wartości f. tryg. kątów

[HunterPL]

Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kątów, wiedząc, że ramię początkowe pokrywa się z osią dodatnią \(\displaystyle{ OX}\), a końcowe z prostą \(\displaystyle{ y=\frac{-2}{3} x}\)

\(\displaystyle{ \left|AO \right|^2=3^2+2^2=9+4}\)
\(\displaystyle{ \left|AO \right|= \sqrt{13}}\)

\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{13}}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{-2}{\sqrt{13}}}\)
\(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{3}{-2}}\)
\(\displaystyle{ ctg\alpha=\frac{-2}{3}}\)

Czy to jest dobrze rozwiązane?

[Sherlock]

Zerknij na rysunek, szukamy wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta rozwartego alfa. Posłużymy się trójkątem prostokątnym ABO oraz tym, że \(\displaystyle{ \alpha=180^0 - \beta}\) (przydadzą się wzory redukcyjne )
Z tw Pitagorasa wiemy, że \(\displaystyle{ |AO|= \sqrt{13}}\).
\(\displaystyle{ sin\beta= \frac{2}{ \sqrt{13} } = \frac{2 \sqrt{13} }{13}}\)
\(\displaystyle{ cos\beta= \frac{3}{ \sqrt{13} } = \frac{3 \sqrt{13} }{13}}\)
Teraz ze wzorów redukcyjnych:
\(\displaystyle{ sin\alpha=sin(180^0-\beta)=sin\beta=\frac{2 \sqrt{13} }{13}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=cos(180^0-\beta)=-cos\beta=\frac{-3 \sqrt{13} }{13}}\)
Pozostaje tangens i cotangens

[HunterPL]

Nie uczyłem się wzorów redukcyjnych.. dziwne, że to babka dała. Szukałem na google wzorów redukcyjnych, ale jest tylko \(\displaystyle{ 180-\alpha}\), a w Twoim przypadku jest \(\displaystyle{ \beta}\). Więc jak w końcu są te wzory? Możesz mi je podać?

Ktoś to rozwiązywał na tablicy, to zrobił współrzędne pktu A: -2, 3 i stąd te wyniki, które podałem w 1 poście i żadnych wzorów redukcyjnych. Niedopatrzenie nauczyciela? (ona stara jest:D)

[Sherlock]

Jeśli chodzi o wzory to nieważne czy oznaczysz kąt przez alfa czy beta.
Wracając do zadania chyba już wiem o co chodzi

Chodzi o fragment wykresu \(\displaystyle{ y=\frac{-2}{3} x}\) który leży na prawo od osi OY
Wtedy masz trójkąt prostokątny pod osią OX i musisz Twoje wyliczenia poprawić.

PS Troszkę szacunku dla starszych osób

-- 7 października 2009, 23:33 --

Ktoś to rozwiązywał na tablicy, to zrobił współrzędne pktu A: -2, 3 i stąd te wyniki, które podałem w 1 poście i żadnych wzorów redukcyjnych.

Tu już żadne wzory redukcyjne nie są potrzebne. Korzystasz z zależności w trójkącie prostokątnym. Nie mogą być współrzędne (-2.3) - przez ten punkt nie przechodzi prosta \(\displaystyle{ y=- \frac{2}{3}x}\)

[HunterPL]

Dzięki, a powiedz mi jak będzie wyglądał rysunek w przypadku \(\displaystyle{ y=\frac{3}{4}x}\)?

[Sherlock]

Narysuj wykres. To będzie prosta przechodzącą przez początek układu współrzędnych oraz punkt np. (4,3).

[HunterPL]

Jeśli chodzi o wzory to nieważne czy oznaczysz kąt przez alfa czy beta.
Wracając do zadania chyba już wiem o co chodzi

Chodzi o fragment wykresu \(\displaystyle{ y=\frac{-2}{3} x}\) który leży na prawo od osi OY
Wtedy masz trójkąt prostokątny pod osią OX i musisz Twoje wyliczenia poprawić.

A więc:
\(\displaystyle{ \left|AO \right|= \sqrt{17}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{-2}{\sqrt{17}}=\frac{-2\sqrt{17}}{17}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\sqrt{17}}{2}}\)
\(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{-2}{3}}\)
\(\displaystyle{ ctg\alpha=\frac{3}{-2}}\)
Tak?
Jesteś pewien, że dobry jest rysunek?

[Sherlock]

Rysunek jest OK. Gdy liczysz funkcje kąta alfa, "zapomnij" na chwilę, że jest układ współrzędnych. Masz po prostu trójkąt prostokątny o bokach \(\displaystyle{ 2, 3}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\) (skąd wziąłeś ten pierwiastek z 17?) zatem:
\(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{2}{ \sqrt{13} } = \frac{2 \sqrt{13} }{13}}\) itd.

[HunterPL]

Rysunek jest OK. Gdy liczysz funkcje kąta alfa, "zapomnij" na chwilę, że jest układ współrzędnych. Masz po prostu trójkąt prostokątny o bokach \(\displaystyle{ 2, 3}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\) (skąd wziąłeś ten pierwiastek z 17?) zatem:
\(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{2}{ \sqrt{13} } = \frac{2 \sqrt{13} }{13}}\) itd.

Racja, 13, zamiast 17. Późno już, błędy wychodzą ze zmęczenia. Wielkie dzięki za pomoc-- 9 paź 2009, o 15:19 --Pani z matematyki twierdzi, że punkt A leży na -3, 2, więc już sam nie wiem..