Równanie trygonometryczne

[vincent07]

Będę wdzięczny jeśli ktoś zerknie i sprawdzi, czy dobrze rozwiązałem, ewentualnie wskaże błąd.

\(\displaystyle{ sin2x + sinx = 2 + cosx- 2cos^{2}x}\)

\(\displaystyle{ 2sinxcosx + sinx = 2(sin^{2}x}\)\(\displaystyle{ + cos^{2}x) - 2cos^2x +cosx}\)

\(\displaystyle{ 2sinxcosx + sinx = 2sin^{2}x + 2cos^{2}x - 2cos^{2}x + cosx}\)

\(\displaystyle{ 2sinxcosx + sinx = 2sin^{2}x + cosx}\)

\(\displaystyle{ 2sinxcosx - cosx = 2sin^{2}x - sinx}\)

\(\displaystyle{ cosx(2sinx - 1) = sinx(2sinx - 1)}\)

\(\displaystyle{ cosx=sinx*}\) \(\displaystyle{ v}\) \(\displaystyle{ sinx = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ Ad. *}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1- sin^{2}x} = sinx}\)

\(\displaystyle{ 1 - sin^{2}x = sin^{2}x}\)

\(\displaystyle{ 1 - 2sin^{2}x = 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} - sin^{2}x = 0}\)

\(\displaystyle{ ( \sqrt{ \frac{1}{2} } - sinx)( \sqrt{ \frac{1}{2} } + sinx) = 0}\)

\(\displaystyle{ x=pi/4 +kpi, k\in C}\) \(\displaystyle{ v}\) \(\displaystyle{ x=pi/6 +2kpi, k\in C}\) \(\displaystyle{ v}\) \(\displaystyle{ x=5pi/6 +2kpi, k\in C}\)

Zrobione.

[Dasio11]

Nie podoba mi się skrócenie \(\displaystyle{ 2 \sin x-1}\)

[vincent07]

\(\displaystyle{ cosx(2sinx - 1) = sinx(2sinx - 1)

(2sinx-1)(cosx-sinx)=0}\)

\(\displaystyle{ 2sinx - 1 = 0}\) \(\displaystyle{ v}\) \(\displaystyle{ cosx - sinx = 0}\)

\(\displaystyle{ ( \sqrt{sinx} - \sqrt{ \frac{1}{2} } )( \sqrt{sinx} + \sqrt{ \frac{1}{2} } ) = 0}\) \(\displaystyle{ v}\) \(\displaystyle{ ( \sqrt{ \frac{1}{2} } - sinx)( \sqrt{ \frac{1}{2} } + sinx) = 0 ?}\)

[piasek101]

\(\displaystyle{ ( \sqrt{sinx} - \sqrt{ \frac{1}{2} } )( \sqrt{sinx} + \sqrt{ \frac{1}{2} } ) = 0}\) \(\displaystyle{ v}\) \(\displaystyle{ ( \sqrt{ \frac{1}{2} } - sinx)( \sqrt{ \frac{1}{2} } + sinx) = 0 ?}\)

Za bardzo ,,czepiasz" się wzorów skróconego mnożenia.

Patrz :
z pierwszego nawiasu masz \(\displaystyle{ sinx=0,5}\)

z drugiego (tak jak na początku - z jedynki trygonometrycznej) \(\displaystyle{ 2sin^2x=1}\) (potem da to co masz) czyli

\(\displaystyle{ sinx= \pm 0,5\sqrt 2}\)

[Dasio11]

Drugi nawias można tak:

\(\displaystyle{ \cos x-\sin x=0 \ \ |()^2 \\
1-\sin 2x=0 \\
\\
x=\frac{\pi}{4}+k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}}\)