Prosta tożsamość - dylemat.

[lukas91]

Mam prosty przykład do wykazania, mianowicie:

\(\displaystyle{ (tg \alpha + ctg \alpha ) ^{2} = \frac{1}{sin ^{2} \alpha \cdot cos ^{2} \alpha }}\)

Wiadomo, że wyprowadzamy od lewej, ale podobno rozpisać mamy przy użyciu wzoru skróconego mnożenia, tak też uczyniłem:

\(\displaystyle{ L = tg ^{2} \alpha + 2tg \alpha ctg \alpha + ctg ^{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{sin ^{2} \alpha }{cos ^{2} \alpha } + \frac{2}{1} + \frac{cos ^{2} \alpha }{sin ^{2} \alpha }}\)

Po czym sprowadziłem do wspólnego mianownika:

\(\displaystyle{ \frac{sin ^{4} \alpha }{sin ^{2} \alpha cos ^{2} \alpha } + \frac{2sin ^{2} \alpha cos ^{2} \alpha }{sin ^{2} \alpha cos ^{2} \alpha } + \frac{cos ^{4} \alpha }{sin ^{2} \alpha cos ^{2} \alpha }}\)

Teraz ponownie stosujemy wzór skróconego mnożenia i mamy:

\(\displaystyle{ \frac{sin ^{2} \alpha + cos ^{2} \alpha }{sin ^{2} \alpha cos ^{2} \alpha } = \frac{1}{sin ^{2} \alpha \cdot cos ^{2} \alpha }}\)

C.N.W.

Jednak gdy się przyjrzymy - wydawałoby się, że można zrobić to też tak:

\(\displaystyle{ (tg \alpha + ctg \alpha ) ^{2} = \frac{sin ^{2} \alpha }{cos ^{2} \alpha } + \frac{cos ^{2} \alpha }{sin ^{2} \alpha }}\)

Teraz gdy od razu sprowadzimy do wspólnego mianownika mamy:

\(\displaystyle{ \frac{sin ^{4} \alpha }{sin ^{2} \alpha cos ^{2} \alpha } + \frac{cos ^{4} \alpha }{sin ^{2} \alpha cos ^{2} \alpha }}\)

Mamy więc:

\(\displaystyle{ \frac{sin ^{4} \alpha + cos ^{4} \alpha }{sin ^{2} \alpha \cdot cos ^{2} \alpha }}\)

No i właśnie, \(\displaystyle{ {sin ^{4} \alpha + cos ^{4}}\) daje nam dwie jedynki trygonometryczne, czyli 2. W efekcie lewa strona nie równa się prawej. Moje pytanie brzmi - dlaczego nie można w ten sposób rozwiązać tego przykładu?

[agulka1987]

\(\displaystyle{ (tg\alpha+ctg\alpha)^2 = \left( \frac{sin\alpha}{cos\alpha}+ \frac{cos\alpha}{sin\alpha} \right)^2 = \left( \frac{sin^2\alpha+cos^2\alpha}{sin\alpha \cdot cos\alpha} \right)^2 = \frac{1^2}{sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha} = \frac{1}{sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha}}\)

[lukas91]

agulka1987, też dobry sposób, ale napisałaś chyba kiedy edytowałem swojego posta

[agulka1987]

Chyba tak. Jak pisałam to była tylko pierwsza część.

Wg mnie nie ważny jest sposób, ważne aby było dobrze. Chyba że nauczyciel wskaże jakąś konkretną metodę, a tka było najprawdopodobniej w twoim przyadku

[Inkwizytor]

No i właśnie, \(\displaystyle{ {sin ^{4} \alpha + cos ^{4}}\) daje nam dwie jedynki trygonometryczne, czyli 2.

Pokaż mi to!-- 5 paź 2009, o 23:18 --Matematyka nie znosi niejednoznaczności. Jeśli liczysz dwoma różnymi sposobami i wychodzą Tobie różne wyniki to oczywistym jest fakt że przynajmniej jeden z nich jest niepoprawny. Tak więc trza wziąć pod lupę każdy z nich i znaleźć słaby punkt.