Dla jakich wartości parametru m równanie:
\(\displaystyle{ \cos^{3}x - m\cos x - m +1 = 0}\)
ma trzy różne rozwiązania z przedziału \(\displaystyle{ (0,2\pi)}\) ?
Równanie trygonometryczne z parametrem m
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Równanie trygonometryczne z parametrem m
Podstawmy \(\displaystyle{ t=\cos x}\). Mamy:
\(\displaystyle{ t^3-mt-m+1=0 \\
t^3+1-m(t+1) = 0 \\
(t+1)(t^2-t+1)-m(t+1) = 0\\
(t+1)(t^2-t+1-m)=0}\).
Zawsze pierwiastkiem tego równania jest \(\displaystyle{ t=-1}\), czyli \(\displaystyle{ x=\pi}\).
Zauważmy też, że jeśli pierwiastkiem tego równania jest jakaś liczba \(\displaystyle{ t_0 \in (-1,1)}\), to ponieważ równanie \(\displaystyle{ t_0=\cos x}\) ma dla takiego \(\displaystyle{ t_0}\) dokładnie dwa rozwiązania w podanym przedziale - każda taka liczba generuje nam dwa rozwiązania równania wyjściowego. Żeby więc to wyjściowe miało dokładnie trzy rozwiązania, są tylko dwie możliwości:
- \(\displaystyle{ t^2-t+1-m= 0}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie (delta równa zero)
- \(\displaystyle{ t^2-t+1-m= 0}\) ma dwa rozwiązania, z których jedno to minus jedynka, a drugie jest z przedziału \(\displaystyle{ (-1,1)}\)
Łatwo sprawdzić, że druga opcja nie może zachodzić, a pierwsza zajdzie tylko dla \(\displaystyle{ m=\frac{3}{4}}\), jest to więc jedyny dobry parametr \(\displaystyle{ m}\).
Q.
\(\displaystyle{ t^3-mt-m+1=0 \\
t^3+1-m(t+1) = 0 \\
(t+1)(t^2-t+1)-m(t+1) = 0\\
(t+1)(t^2-t+1-m)=0}\).
Zawsze pierwiastkiem tego równania jest \(\displaystyle{ t=-1}\), czyli \(\displaystyle{ x=\pi}\).
Zauważmy też, że jeśli pierwiastkiem tego równania jest jakaś liczba \(\displaystyle{ t_0 \in (-1,1)}\), to ponieważ równanie \(\displaystyle{ t_0=\cos x}\) ma dla takiego \(\displaystyle{ t_0}\) dokładnie dwa rozwiązania w podanym przedziale - każda taka liczba generuje nam dwa rozwiązania równania wyjściowego. Żeby więc to wyjściowe miało dokładnie trzy rozwiązania, są tylko dwie możliwości:
- \(\displaystyle{ t^2-t+1-m= 0}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie (delta równa zero)
- \(\displaystyle{ t^2-t+1-m= 0}\) ma dwa rozwiązania, z których jedno to minus jedynka, a drugie jest z przedziału \(\displaystyle{ (-1,1)}\)
Łatwo sprawdzić, że druga opcja nie może zachodzić, a pierwsza zajdzie tylko dla \(\displaystyle{ m=\frac{3}{4}}\), jest to więc jedyny dobry parametr \(\displaystyle{ m}\).
Q.
Równanie trygonometryczne z parametrem m
- \(\displaystyle{ t^2-t+1-m= 0}\) ma dwa rozwiązania, z których jedno to minus jedynka, a drugie jest z przedziału (-1;1)
w jaki sposób ustaliłeś te dwa rozwiązania?
A jeśli podstawimy za m=3/4 to wyjdą nam tylko dwa rozwiązania z czego jedno będzie podwójne
w jaki sposób ustaliłeś te dwa rozwiązania?
A jeśli podstawimy za m=3/4 to wyjdą nam tylko dwa rozwiązania z czego jedno będzie podwójne
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Równanie trygonometryczne z parametrem m
Nie ustalałem ich - stwierdziłem, że byłaby to jedna z sytuacji, która mogłaby nam pasować. Bo \(\displaystyle{ t=-1}\) jest zawsze pierwiastkiem równania z \(\displaystyle{ t}\), a oprócz niego może być jeszcze tylko jeden pierwiastek z przedziału \(\displaystyle{ (-1,1)}\). Albo więc podwójnym pierwiastkiem będzie \(\displaystyle{ -1}\) (ale wtedy pojedynczy nie łapie się do dobrego przedziału), albo podwójnym będzie ten "jeszcze tylko jeden".jutinkaaa pisze:w jaki sposób ustaliłeś te dwa rozwiązania?
A ja twierdzę, że dokładnie trzy różne: \(\displaystyle{ x\in\{ \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}\}}\).A jeśli podstawimy za m=3/4 to wyjdą nam tylko dwa rozwiązania z czego jedno będzie podwójne
Pamiętaj, że główną niewiadomą jest \(\displaystyle{ x}\), nie \(\displaystyle{ t}\).
Q.