kłopotliwe rówania trygonometryczne

[piootrekk]

mam nadzieje ze ktos jest w stanie mi pomoc,
się nauczyłem tych wszystkich wzorow na sumy sinusow kosinusow itp itd ale mam klopot z ich "żąglowaniem" w praktyce : (

1.\(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \frac{\cos 2x}{1 - \sin 2x}}\)

2.\(\displaystyle{ \tg x \cdot \tg 3x = 1}\)

3.\(\displaystyle{ 3 \sin^{2} x + 2\sin x = 1}\),
tu dochodze do tego że \(\displaystyle{ \sin x = -1 \vee sin x = \frac{1}{3}}\) nie wiem co zrobic z tym \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{3}}\)

i ostatnie chyba najtrudniejsze , tożsamość trygonomentryczna:

4.\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin^{2} \alpha} + \frac{1}{\sin^{2} \beta} - \frac{2\cos (\alpha - \beta)}{\sin \alpha \cdot \sin \beta} = \frac{\sin^2 (\alpha - \beta)}{\sin^{2} \cdot \sin^{2} \beta}}\)

[At123]

3.\(\displaystyle{ 3 \sin^{2} x + 2\sin x = 1}\),
tu dochodze do tego że \(\displaystyle{ \sin x = -1 \vee sin x = \frac{1}{3}}\) nie wiem co zrobic z tym \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{3}}\)

albo z tablic i bedzie to przyblizone rozwiazanie, lub skorzystac z funkcji odwrotnej i blyskawicznie dostajemy: \(\displaystyle{ x=arcsin \frac{1}{3}}\)

[piootrekk]

to wezme z tablic wynik bo bo o takich funkcjach odwrotnych jeszcze nie slyszalem...

moze ktos rozwiaze z tych trudniejszych ?

[Dasio11]

1. \(\displaystyle{ 1-\sin 2x=\sin^2 x + \cos^2 x -2 \sin x \cos x}\) - wzór skróconego mnożenia, obustronnie pomnóż, znowu wzór (inny), porównaj z:
\(\displaystyle{ \cos 2x=\cos^2 x -\sin^2 x}\)

2. \(\displaystyle{ \tg 3x= \frac{1}{\ctg 3x}=\frac{1}{\tg(90-3x)}}\) - i na drugą stronę.

3. Oczywiście równanie kwadratowe, wynik jest dobry.

[piootrekk]

1.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 1-\sin 2x=\sin^2 x + \cos^2 x -2 \sin x \cos x}\) - wzór skróconego mnożenia, obustronnie pomnóż, znowu wzór (inny), porównaj z:
\(\displaystyle{ \cos 2x=\cos^2 x -\sin^2 x}\)

2. \(\displaystyle{ \tg 3x= \frac{1}{\ctg 3x}=\frac{1}{\tg(90-3x)}}\) - i na drugą stronę.

3. Oczywiście równanie kwadratowe, wynik jest dobry.

ahh, dziękuje za wyjasnienie : D

tylko nie wiem czy te 2. dobrze licze bo wychodzi :

\(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{8}}\)

[Dasio11]

Dobrze, tylko jeszcze uogólnij: \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}}\)