Twierdzenie sinusów, cosinusów - trójkąt prostokątny

[zx]

Wykaż, że jeżeli w trójkącie \(\displaystyle{ \sin ^ 2 \alpha = \sin ^ 2 \beta + \sin ^ 2 \left( \alpha + \beta \right)}\), to trójkąt ten jest prostokątny.

[Tomasz Rużycki]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) beda bokami przeciwleglymi kątom \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma}\).

Na wstepie zauwazmy, ze \(\displaystyle{ \sin (\alpha + \beta) = \sin (\pi - \gamma) = \sin\gamma}\).

Na mocy twierdzenia sinusow mamy:

\(\displaystyle{ \{\sin\alpha = \frac{a}{2R}\\ \sin\beta = \frac{b}{2R} \\ \sin\gamma = \frac{c}{2R}}\).

Wstawiajac to do poczatkowej zaleznosci dostajemy

\(\displaystyle{ a^2=b^2+c^2}\).

Na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa stwierdzamy, ze trojkat ten jest prostokatny.