Twierdzenie sinusów, cosinusów - trójkąt prostokątny
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 9 lis 2005, o 17:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: zx
- Podziękował: 16 razy
Twierdzenie sinusów, cosinusów - trójkąt prostokątny
Wykaż, że jeżeli w trójkącie \(\displaystyle{ \sin ^ 2 \alpha = \sin ^ 2 \beta + \sin ^ 2 \left( \alpha + \beta \right)}\), to trójkąt ten jest prostokątny.
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Twierdzenie sinusów, cosinusów - trójkąt prostokątny
Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) beda bokami przeciwleglymi kątom \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma}\).
Na wstepie zauwazmy, ze \(\displaystyle{ \sin (\alpha + \beta) = \sin (\pi - \gamma) = \sin\gamma}\).
Na mocy twierdzenia sinusow mamy:
\(\displaystyle{ \{\sin\alpha = \frac{a}{2R}\\ \sin\beta = \frac{b}{2R} \\ \sin\gamma = \frac{c}{2R}}\).
Wstawiajac to do poczatkowej zaleznosci dostajemy
\(\displaystyle{ a^2=b^2+c^2}\).
Na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa stwierdzamy, ze trojkat ten jest prostokatny.
Na wstepie zauwazmy, ze \(\displaystyle{ \sin (\alpha + \beta) = \sin (\pi - \gamma) = \sin\gamma}\).
Na mocy twierdzenia sinusow mamy:
\(\displaystyle{ \{\sin\alpha = \frac{a}{2R}\\ \sin\beta = \frac{b}{2R} \\ \sin\gamma = \frac{c}{2R}}\).
Wstawiajac to do poczatkowej zaleznosci dostajemy
\(\displaystyle{ a^2=b^2+c^2}\).
Na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa stwierdzamy, ze trojkat ten jest prostokatny.