Tożsamość trygonometryczna

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
marcin22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 19:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 7 razy

Tożsamość trygonometryczna

Post autor: marcin22 »

WItam, może nie jest to specjalnie trudna na pierwszy rzut oka tożsamość do udowodnienia ale jednak nie dałem sobie z nią rady. Czy może mi ktoś pomóc z tym przykładem:

\(\displaystyle{ \frac{sinx}{1+cosx} = \frac{1-cosx}{sinx}}\)
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

Tożsamość trygonometryczna

Post autor: Inkwizytor »

\(\displaystyle{ \frac{sinx}{1+cosx} = \frac{1-cosx}{sinx} \Leftrightarrow \frac{sinx}{1+cosx} - \frac{1-cosx}{sinx} = 0}\)
wspólny mianownik,...

Zapewne ktoś doradzi pomnożyć "na krzyż" ale to takie nieeleganckie
marcin22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 19:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 7 razy

Tożsamość trygonometryczna

Post autor: marcin22 »

Tutaj mnie zaskoczyłeś bo nigdy w ten sposób nie udowadniałem tożsamośći tylko zawsze trzymałem się rozwiązując najpierw tylko to co po lewej stronie a potem porównując z prawą.

No dobra powiedzmy że zrobiłem tym sposobem co mi podałeś ale utknąłem później z takim czymś:

\(\displaystyle{ \frac{2cosx(1-cosx)}{sinx(1+cosx)} = 0}\)
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

Tożsamość trygonometryczna

Post autor: Inkwizytor »

Mianownik ok. Ale licznik zgrzyta. albo coś pominąłeś, albo źle rozszerzyłeś liczniki w obu
marcin22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 19:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 7 razy

Tożsamość trygonometryczna

Post autor: marcin22 »

No ja tak to robiłem:

\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}x-(1-cosx)^{2}}{sinx(1+cosx)} = \frac{sin^{2}x-1+2cosx-cos^{2}x}{sinx(1+cosx)} = \frac{1-cos^{2}x-1+2cosx-cos^{2}x}{sinx(1+cosx)} = \frac{-2cos^{2}x+2cosx}{sinx(1+cosx)} = \frac{2cosx(1-cosx)}{sinx(1+cosx)}}\)

Edit: Dobra widzę że się walnąłem podnosząc do kwadratu \(\displaystyle{ 1+cosx}\) w liczniku. Jeszcze raz zaraz spróbuję to zrobić

Edit2: Wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}x-(1-cosx)(1+cosx)}{sinx(1+cosx)} = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}x-1+cos^{2}x}{sinx(1+cosx)} = 0}\)
\(\displaystyle{ 0 = 0}\)

Czy tak ma wyjść? Czy to jest też udowodnienie tożsamości?
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

Tożsamość trygonometryczna

Post autor: Inkwizytor »

ano tak!
Lewa równa sie prawej (po obu stronach zero)
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Tożsamość trygonometryczna

Post autor: piasek101 »

Inkwizytor pisze:Zapewne ktoś doradzi pomnożyć "na krzyż" ale to takie nieeleganckie
Co do elegancji to rzecz gustu a z tym się ...

Doradzam pomnożyć stronami przez wspólny mianownik (możesz to zrobić); czyli innymi słowy ,,pomnożyć na krzyż".
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

Tożsamość trygonometryczna

Post autor: Inkwizytor »

piasek101 pisze:
Inkwizytor pisze:Zapewne ktoś doradzi pomnożyć "na krzyż" ale to takie nieeleganckie
Co do elegancji to rzecz gustu a z tym się ...
Raz że już zrobione. Dwa mnożenie obustronne przez wyrażenie z niewiadomą to bardzo zły nawyk i jak za bardzo wejdzie w krew to potem trafia się na przykład w ktorym "wyskakują kwiatki". Jeśli daje się bez mnożenia to wypadałoby tak zrobić. Zwróć uwagę że licznik wychodzi taki sam jak przy mnożeniu "na krzyż" ale mianownika pozbywasz się stwierdzeniem iż "ułamek jest równy zeru wtedy i tylko wtedy gdy licznik jest równy zeru". Operacja w białych rękawiczkach. Czysto i bez zarzutu.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Tożsamość trygonometryczna

Post autor: piasek101 »

No to dokończę ...,,nie dyskutuje".
ODPOWIEDZ