Tożsamość trygonometryczna
-
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 29 wrz 2006, o 19:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W-wa
- Podziękował: 7 razy
Tożsamość trygonometryczna
WItam, może nie jest to specjalnie trudna na pierwszy rzut oka tożsamość do udowodnienia ale jednak nie dałem sobie z nią rady. Czy może mi ktoś pomóc z tym przykładem:
\(\displaystyle{ \frac{sinx}{1+cosx} = \frac{1-cosx}{sinx}}\)
\(\displaystyle{ \frac{sinx}{1+cosx} = \frac{1-cosx}{sinx}}\)
- Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
Tożsamość trygonometryczna
\(\displaystyle{ \frac{sinx}{1+cosx} = \frac{1-cosx}{sinx} \Leftrightarrow \frac{sinx}{1+cosx} - \frac{1-cosx}{sinx} = 0}\)
wspólny mianownik,...
Zapewne ktoś doradzi pomnożyć "na krzyż" ale to takie nieeleganckie
wspólny mianownik,...
Zapewne ktoś doradzi pomnożyć "na krzyż" ale to takie nieeleganckie
-
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 29 wrz 2006, o 19:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W-wa
- Podziękował: 7 razy
Tożsamość trygonometryczna
Tutaj mnie zaskoczyłeś bo nigdy w ten sposób nie udowadniałem tożsamośći tylko zawsze trzymałem się rozwiązując najpierw tylko to co po lewej stronie a potem porównując z prawą.
No dobra powiedzmy że zrobiłem tym sposobem co mi podałeś ale utknąłem później z takim czymś:
\(\displaystyle{ \frac{2cosx(1-cosx)}{sinx(1+cosx)} = 0}\)
No dobra powiedzmy że zrobiłem tym sposobem co mi podałeś ale utknąłem później z takim czymś:
\(\displaystyle{ \frac{2cosx(1-cosx)}{sinx(1+cosx)} = 0}\)
- Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
Tożsamość trygonometryczna
Mianownik ok. Ale licznik zgrzyta. albo coś pominąłeś, albo źle rozszerzyłeś liczniki w obu
-
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 29 wrz 2006, o 19:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W-wa
- Podziękował: 7 razy
Tożsamość trygonometryczna
No ja tak to robiłem:
\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}x-(1-cosx)^{2}}{sinx(1+cosx)} = \frac{sin^{2}x-1+2cosx-cos^{2}x}{sinx(1+cosx)} = \frac{1-cos^{2}x-1+2cosx-cos^{2}x}{sinx(1+cosx)} = \frac{-2cos^{2}x+2cosx}{sinx(1+cosx)} = \frac{2cosx(1-cosx)}{sinx(1+cosx)}}\)
Edit: Dobra widzę że się walnąłem podnosząc do kwadratu \(\displaystyle{ 1+cosx}\) w liczniku. Jeszcze raz zaraz spróbuję to zrobić
Edit2: Wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}x-(1-cosx)(1+cosx)}{sinx(1+cosx)} = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}x-1+cos^{2}x}{sinx(1+cosx)} = 0}\)
\(\displaystyle{ 0 = 0}\)
Czy tak ma wyjść? Czy to jest też udowodnienie tożsamości?
\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}x-(1-cosx)^{2}}{sinx(1+cosx)} = \frac{sin^{2}x-1+2cosx-cos^{2}x}{sinx(1+cosx)} = \frac{1-cos^{2}x-1+2cosx-cos^{2}x}{sinx(1+cosx)} = \frac{-2cos^{2}x+2cosx}{sinx(1+cosx)} = \frac{2cosx(1-cosx)}{sinx(1+cosx)}}\)
Edit: Dobra widzę że się walnąłem podnosząc do kwadratu \(\displaystyle{ 1+cosx}\) w liczniku. Jeszcze raz zaraz spróbuję to zrobić
Edit2: Wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}x-(1-cosx)(1+cosx)}{sinx(1+cosx)} = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}x-1+cos^{2}x}{sinx(1+cosx)} = 0}\)
\(\displaystyle{ 0 = 0}\)
Czy tak ma wyjść? Czy to jest też udowodnienie tożsamości?
- Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 23493
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3263 razy
Tożsamość trygonometryczna
Co do elegancji to rzecz gustu a z tym się ...Inkwizytor pisze:Zapewne ktoś doradzi pomnożyć "na krzyż" ale to takie nieeleganckie
Doradzam pomnożyć stronami przez wspólny mianownik (możesz to zrobić); czyli innymi słowy ,,pomnożyć na krzyż".
- Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
Tożsamość trygonometryczna
Raz że już zrobione. Dwa mnożenie obustronne przez wyrażenie z niewiadomą to bardzo zły nawyk i jak za bardzo wejdzie w krew to potem trafia się na przykład w ktorym "wyskakują kwiatki". Jeśli daje się bez mnożenia to wypadałoby tak zrobić. Zwróć uwagę że licznik wychodzi taki sam jak przy mnożeniu "na krzyż" ale mianownika pozbywasz się stwierdzeniem iż "ułamek jest równy zeru wtedy i tylko wtedy gdy licznik jest równy zeru". Operacja w białych rękawiczkach. Czysto i bez zarzutu.piasek101 pisze:Co do elegancji to rzecz gustu a z tym się ...Inkwizytor pisze:Zapewne ktoś doradzi pomnożyć "na krzyż" ale to takie nieeleganckie