Mam problemy z kilkoma zadaniami ;/
1. Jaką miarę ma kąt ostry wpisany w okrąg o promieniu 10 cm oparty na cięciwie długości 6 cm?
2. Zapisz wzory pozwalające obliczać pole i obwód n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu r (n>4).
3. W trójkącie o kątach 60 , 45, 75 z wierzchołka 75 poprowadzono wysokość. w jakim stosunku wysokość ta podzieliła bok trójkąta?
4. wykaż, że jeśli alfa i "beta" są kątami równoległoboku, to \(\displaystyle{ sin^2 \frac{\alpha}{2} + sin^2 \frac {"beta"}{2} = 1}\)
Trygonometria - powtórzenie
-
Czoug
- Użytkownik
- Posty: 205
- Rejestracja: 15 wrz 2009, o 10:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Pomógł: 29 razy
Trygonometria - powtórzenie
Wezmy trojkat o bokach r;r;6, gdzie 2 wierzcholki leza na krancach cieciwy oraz 1 wirzcholek na srodku kola, kat miedzy r;r oznaczmy jako \(\displaystyle{ \alpha}\), z tw. Carnota(cosinusow) znajdziemy kąt, teraz juz wystarczy skorzystac z tw. o kacie srodkowym(i drugim kacie, gdzie oba sa oparte na tym sammym luku), znajdujemy nasz pozadany kat.
2. tu sa potrzebne wzory:
tz. jest wzor na promien i wzor na bok, oraz wzor na pole powierzchni, czyli pole figury.
3. wysokosc dzieli kat 75 stopni na 45 i 30, bo mamy w prawym trojkacie 90 i 45 stopni, wiec dopelnieniem do 180, bedzie wlasnie 45. Oznaczmy bok naprzeciwko pierwotnego kata 45 jako a, oraz bok naprzeciwko 60 jako b. Podstawa trojkata(duzego) to c, ktore rozbijamy na "x" oraz "y"
teraz musimy wyznaczyc x,y jako funkcje jednej zmiennej( ja pokaze to dla b)
W trojkacie 45;45;90 przeciwprostokatna to b, wiec przyprostokatne(jedno z nich to wysokosc trojkata czyli h, oraz nasze "y") wyniosa: \(\displaystyle{ h=y= \frac{b}{ \sqrt{2}}}\)
Teraz wyznacze a w zaleznosci od b: \(\displaystyle{ \sin 60= \frac{h}{a}= \frac{ \sqrt{3}}{2} \Rightarrow a= \frac{2b}{ \sqrt{6}}}\).
Teraz zaleznosc a oraz x: \(\displaystyle{ \sin 30= \frac{a}{x}= \frac{1}{2} \Rightarrow x= \frac{b}{ \sqrt{6}}}\)
Mamy juz wyznaczone "x" i "y" jako funkcje zmiennej b. Teraz wystarczy policzyc stosunek: (albo x do y albo y do x).
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}= \frac{b}{ \sqrt{6}} \cdot \frac{ \sqrt{2}}{b}= \frac{1}{ \sqrt{3}}}\)
odp. Stosunek to \(\displaystyle{ 1: \sqrt{3}}\)
4. Tu masz potrzebny wzor na wzory na sinus i cosinus połowy argumentu:
z wlasnosci rownolegloboku(1 linijka) i ze wzorow rekurencyjnych 2 linijka wiemy, ze:
\(\displaystyle{ alpha+ eta=180 Leftrightarrow eta= 180- alpha\
cos eta =cos (180- alpha) ext{oraz ze wrorow red. ze} cos eta= - cos (180- alpha) ext{wiec} \(\displaystyle{ \cos \beta= - \cos \alpha\\
( \frac{1- \cos \beta}{2})^2=( \frac{1- \cos \beta}{2})^2=( \frac{1+ \cos \alpha}{2})^2\\
(\sin \frac{\beta}{2})^2 = (\cos \frac{\beta}{2})^2=1- (\sin \frac{\alpha}{2})^2\\
(\sin \frac{\beta}{2})^2 + (\sin \frac{\alpha}{2})^2=1}\) c.n.d
oczywiscie tak na to nie wpadlem, liczylem "od dupy" strony. czyli przyjalem ze rownanie jest prawdziwe i probowalem dojsc do a+b=180, inaczej rzecz mowiac liczylem od dolu do gory, bo tak wygodniej, ale zapis musi byc tak jak wyzej, czyli od zalozenia az do tezy}\)
2. tu sa potrzebne wzory:
tz. jest wzor na promien i wzor na bok, oraz wzor na pole powierzchni, czyli pole figury.
3. wysokosc dzieli kat 75 stopni na 45 i 30, bo mamy w prawym trojkacie 90 i 45 stopni, wiec dopelnieniem do 180, bedzie wlasnie 45. Oznaczmy bok naprzeciwko pierwotnego kata 45 jako a, oraz bok naprzeciwko 60 jako b. Podstawa trojkata(duzego) to c, ktore rozbijamy na "x" oraz "y"
teraz musimy wyznaczyc x,y jako funkcje jednej zmiennej( ja pokaze to dla b)
W trojkacie 45;45;90 przeciwprostokatna to b, wiec przyprostokatne(jedno z nich to wysokosc trojkata czyli h, oraz nasze "y") wyniosa: \(\displaystyle{ h=y= \frac{b}{ \sqrt{2}}}\)
Teraz wyznacze a w zaleznosci od b: \(\displaystyle{ \sin 60= \frac{h}{a}= \frac{ \sqrt{3}}{2} \Rightarrow a= \frac{2b}{ \sqrt{6}}}\).
Teraz zaleznosc a oraz x: \(\displaystyle{ \sin 30= \frac{a}{x}= \frac{1}{2} \Rightarrow x= \frac{b}{ \sqrt{6}}}\)
Mamy juz wyznaczone "x" i "y" jako funkcje zmiennej b. Teraz wystarczy policzyc stosunek: (albo x do y albo y do x).
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}= \frac{b}{ \sqrt{6}} \cdot \frac{ \sqrt{2}}{b}= \frac{1}{ \sqrt{3}}}\)
odp. Stosunek to \(\displaystyle{ 1: \sqrt{3}}\)
4. Tu masz potrzebny wzor na wzory na sinus i cosinus połowy argumentu:
z wlasnosci rownolegloboku(1 linijka) i ze wzorow rekurencyjnych 2 linijka wiemy, ze:
\(\displaystyle{ alpha+ eta=180 Leftrightarrow eta= 180- alpha\
cos eta =cos (180- alpha) ext{oraz ze wrorow red. ze} cos eta= - cos (180- alpha) ext{wiec} \(\displaystyle{ \cos \beta= - \cos \alpha\\
( \frac{1- \cos \beta}{2})^2=( \frac{1- \cos \beta}{2})^2=( \frac{1+ \cos \alpha}{2})^2\\
(\sin \frac{\beta}{2})^2 = (\cos \frac{\beta}{2})^2=1- (\sin \frac{\alpha}{2})^2\\
(\sin \frac{\beta}{2})^2 + (\sin \frac{\alpha}{2})^2=1}\) c.n.d
oczywiscie tak na to nie wpadlem, liczylem "od dupy" strony. czyli przyjalem ze rownanie jest prawdziwe i probowalem dojsc do a+b=180, inaczej rzecz mowiac liczylem od dolu do gory, bo tak wygodniej, ale zapis musi byc tak jak wyzej, czyli od zalozenia az do tezy}\)