Mam straszny problem z rozwiązaniem tych trzech tożsamości:
1) \(\displaystyle{ sin ^{4} \alpha -cos ^{4} \alpha =2sin ^{2} \alpha -1}\)
2) \(\displaystyle{ \frac{ctg \alpha *(1+tg ^{2} \alpha) }{1+ctg ^{2} \alpha } =tg \alpha}\)
3) \(\displaystyle{ sin \alpha +sin \alpha *tg ^{2} \alpha = \frac{tg \alpha }{cos \alpha }}\)
Bardzo proszę o pomoc w ich rozwiązaniu.
Uzasadnij tożsamość
Uzasadnij tożsamość
1) wzor na roznice kwadratow
2)\(\displaystyle{ tgx= \frac{1}{ctgx}}\)
3)\(\displaystyle{ \frac{sinx}{cosx} =tgx}\)
2)\(\displaystyle{ tgx= \frac{1}{ctgx}}\)
3)\(\displaystyle{ \frac{sinx}{cosx} =tgx}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
Uzasadnij tożsamość
1.
\(\displaystyle{ = (sin^2\alpha + cos^2\alpha)(sin^2\alpha - cos^2\alpha) = 1 \cdot (sin^2\alpha - cos^2\alpha) = sin^2\alpha - (1-sin^2\alpha) = 2sin^2\alpha-1}\)
2.
\(\displaystyle{ = \frac{ \frac{cos\alpha}{sin\alpha}(1+ \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}) }{1+ \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha} } = \frac{ \frac{cos\alpha}{sin\alpha} + \frac{sin\alpha}{cos\alpha} }{ \frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{sin^2\alpha} } = \frac{ \frac{cos^2\alpha + sin^2\alpha}{sin\alpha \cdot cos\alpha} }{ \frac{1}{sin^2\alpha} } = \frac{1}{sin\alpha \cdot cos\alpha} \cdot sin^2\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = tg\alpha}\)
3.
\(\displaystyle{ =sin\alpha + sin\alpha \cdot \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha} = sin\alpha + \frac{sin^3\alpha}{cos^2\alpha} = \frac{sin\alpha \cdot cos^2\alpha + sin^3\alpha}{cos^2\alpha} = \frac{sin\alpha(cos^2\alpha + sin^2\alpha)}{cos^2\alpha} = \frac{sin\alpha}{cos^2\alpha} = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} \cdot \frac{1}{cos\alpha} = \frac{tg\alpha}{cos\alpha}}\)
\(\displaystyle{ = (sin^2\alpha + cos^2\alpha)(sin^2\alpha - cos^2\alpha) = 1 \cdot (sin^2\alpha - cos^2\alpha) = sin^2\alpha - (1-sin^2\alpha) = 2sin^2\alpha-1}\)
2.
\(\displaystyle{ = \frac{ \frac{cos\alpha}{sin\alpha}(1+ \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}) }{1+ \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha} } = \frac{ \frac{cos\alpha}{sin\alpha} + \frac{sin\alpha}{cos\alpha} }{ \frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{sin^2\alpha} } = \frac{ \frac{cos^2\alpha + sin^2\alpha}{sin\alpha \cdot cos\alpha} }{ \frac{1}{sin^2\alpha} } = \frac{1}{sin\alpha \cdot cos\alpha} \cdot sin^2\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = tg\alpha}\)
3.
\(\displaystyle{ =sin\alpha + sin\alpha \cdot \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha} = sin\alpha + \frac{sin^3\alpha}{cos^2\alpha} = \frac{sin\alpha \cdot cos^2\alpha + sin^3\alpha}{cos^2\alpha} = \frac{sin\alpha(cos^2\alpha + sin^2\alpha)}{cos^2\alpha} = \frac{sin\alpha}{cos^2\alpha} = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} \cdot \frac{1}{cos\alpha} = \frac{tg\alpha}{cos\alpha}}\)
Ostatnio zmieniony 28 wrz 2009, o 20:08 przez agulka1987, łącznie zmieniany 1 raz.
Uzasadnij tożsamość
nie rozumiem - dlaczego w mianowniku drugiego przykładu ctg został zamieniony na cos? Wszystko się zgadza, tyko tego jednego nie mogę zrozumieć^^
-
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy