Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych

[RafalG]

Witam

Bym potrzebował pomocy z tym zadankiem . Próbowałem zrobić pierwsze i nawet nawet coś tam mi wyszło ale jak zabrałem się za b) to masakra :/. Bardzo bym prosił o pomoc.

Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, wiedząc,że:

a) \(\displaystyle{ tg x=2}\) i \(\displaystyle{ sinx<0}\)

b) \(\displaystyle{ ctg x= -3}\) i \(\displaystyle{ cos x>0}\),

c) \(\displaystyle{ sin x= - \frac{2}{5}}\) i \(\displaystyle{ tg x>0}\),

d) \(\displaystyle{ cos x= - \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ ctg x<0}\).


a)\(\displaystyle{ tgx=2 i sinx<0}\)

\(\displaystyle{ ctgx= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ sin ^{2} + cosx ^{2} =1
\frac{sinx}{cosx}

sin ^{2} x + cos ^{2}=1
sinx=2 \cdot cos

(2cosx) ^{2} +cos ^{2} x=1
sinx=2 \cdot cosx

(2cosx) ^{2} + cos ^{2} x=1
5 cos ^{2} x=1/:5

cos ^{2} x= \frac{1}{5}
cos x= \sqrt{} \frac{1}{5}
cos x= \sqrt{} \frac{ -\sqrt{5} }{5}}\)

[afugssa]

\(\displaystyle{ sin^{2}x+cos^{2}x=1}\)
\(\displaystyle{ tgx \cdot ctgx=1}\)
\(\displaystyle{ tgx=\frac{sinx}{cosx}}\)
"W pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus."
Wszystko, co Ci jest potrzebne do rozwiązania tego zadania. Pozdrawiam!

[lukki_173]

Skorzystaj z podstawowych wzorów.
\(\displaystyle{ tg\alpha= \frac{sin\alpha}{cos\alpha}\\
ctg\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}\\
sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}\)

[RafalG]

a na wzór mógłby mi ktoś jedno rozwiązać

[afugssa]

Mógłby...
\(\displaystyle{ (ctgx=2 \wedge sinx>0) \Rightarrow 0<x<\frac{\Pi}{2}}\)

\(\displaystyle{ ctgx=2}\)
\(\displaystyle{ \frac{cosx}{sinx}=2}\)
\(\displaystyle{ cosx=2sinx}\)

\(\displaystyle{ sin^{2}x+cos^{2}x=1}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x+(2sinx)^{2}=1}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x+4sin^{2}x=1}\)
\(\displaystyle{ 5sin^{2}x=1}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x=\frac{1}{5}}\)
\(\displaystyle{ \left(sinx=-\sqrt{\frac{1}{5}} \vee sinx=\sqrt{\frac{1}{5}}\right) \wedge sinx>0 \Rightarrow sinx=\sqrt{\frac{1}{5}}}\)
\(\displaystyle{ sinx=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}}\)
\(\displaystyle{ cosx=2sinx=2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\)
\(\displaystyle{ tgx=\frac{1}{ctgx}=\frac{1}{2}}\)

Odp. \(\displaystyle{ sinx=\frac{\sqrt{5}}{5}}\), \(\displaystyle{ cosx=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\), \(\displaystyle{ tgx=\frac{1}{2}}\)
Pozdrawiam!

[RafalG]

tylko akurat ten przykład sam zrobiłem ;/

[afugssa]

Po pierwsze tego przykładu nie było wśród tych które podałeś, a po drugie to kto powiedział, że ja Ci podam rozwiązanie któregoś z tych? Nie chce Cię pozbawiać możliwości samodzielnego rozwiązywania. Wzór masz tak jak chciałeś... Pozdrawiam!

[RafalG]

spoko ;p b) już też zrobiłem niechce mi się pisać ale wydaje mi się że git bo zgadza się z tym co w odpowiedziach xd

a co do przykładu c) to jak mam zacząć szukać cos ?

[afugssa]

Przecież on jest prostszy od tego co ja Ci podałem. Jak masz \(\displaystyle{ sinx}\), to obliczasz \(\displaystyle{ cosx}\) ze wzoru \(\displaystyle{ sin^{2}x+cos^{2}x=1}\), później \(\displaystyle{ tgx}\) ze wzoru \(\displaystyle{ tgx=\frac{sinx}{cosx}}\), a \(\displaystyle{ ctgx}\) ze wzoru \(\displaystyle{ tgx \cdot ctgx=1}\). Wystarczy troszkę pomyśleć...

[RafalG]

oj chyba nie umiem przekształcić tego pierwszego wzoru bo zrobiłem i wychodzi błędnie z odpowiedziami (

[afugssa]

Nie umiesz przekształcić wzoru \(\displaystyle{ sin^{2}x+cos^{2}x=1}\)? Pokaż jak liczysz, to Ci powiem, gdzie masz błąd. Pozdrawiam!

[RafalG]

\(\displaystyle{ sin ^{2}x + cos ^{2} =1}\)
\(\displaystyle{ - \frac{2}{5} + cos ^{2} x=1}\)
\(\displaystyle{ cos ^{2} x= \frac{7}{5}}\)

[afugssa]

To jest przekształcone dobrze. Na pewno masz podane, że \(\displaystyle{ sinx=-\frac{2}{5}}\), a Ty to podstawiasz za \(\displaystyle{ sin^{2}x}\). To nie to samo... Jeżeli \(\displaystyle{ sinx=-\frac{2}{5}}\) to \(\displaystyle{ sin^{2}x=\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}}\). Pozdrawiam!