Czy zachodzi równość?

[ami92]

Witam,
mam już małą wprawę w rozwiązywaniu równości trygonometrycznych, ale ta jest dla mnie nie do ruszenia, pomożecie?

\(\displaystyle{ \frac{1}{cos \alpha } - \frac{cos \alpha }{1+sin \alpha } = tg \alpha}\)


Nie wiem też, jak obliczyć, że gdy \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym i \(\displaystyle{ sin \alpha - cos \alpha = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha *cos \alpha}\)

Czy da się uzasadnić, że nie istnieję kąt ostry \(\displaystyle{ \alpha}\), że \(\displaystyle{ sin \alpha +cos \alpha = \frac{5}{3}}\)

Strasznie zależy mi na zrozumieniu funkcji trygonometrycznych, więc byłabym niezmiernie wdzięczna za pomoc w zrozumieniu powyższych zadań^^

[tim]

Zauważ:
\(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{sin \alpha }{cos \alpha }}\)

Podstaw do równania, wsuń do wspólnego mianownika, aby powstała proporcja i ją rozwiąż.


\(\displaystyle{ \frac{cos \alpha}{1 + sin \alpha } = \frac{sin \alpha - 1}{cos \alpha }}\)

Proporcja i dalej.

[Sherlock]

\(\displaystyle{ \frac{1}{cos \alpha } - \frac{cos \alpha }{1+sin \alpha } = \frac{1+sin\alpha-cos^2 \alpha}{cos\alpha(1+sin\alpha)}=\frac{sin^2 \alpha+sin\alpha}{cos\alpha(1+sin\alpha)}=\frac{sin\alpha(sin\alpha+1)}{cos\alpha(1+sin\alpha)}...}\)

-- 27 września 2009, 21:51 --

Nie wiem też, jak obliczyć, że gdy \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym i \(\displaystyle{ sin \alpha - cos \alpha = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha *cos \alpha}\)

możesz wyliczyć w ten sposób:
a) najpierw z układu liczysz sinus i cosinus (bierzesz wartości dodatnie bo kąt ostry czyli w I ćwiartce)
\(\displaystyle{ \begin{cases} sin \alpha -cos \alpha = \frac{1}{4} \\ sin^2 \alpha+cos^2 \alpha =1 \end{cases}}\)
b) liczysz iloczyn sinusa i cosinusa

Czy da się uzasadnić, że nie istnieję kąt ostry\(\displaystyle{ \alpha}\), że \(\displaystyle{ sin \alpha +cos \alpha = \frac{5}{3}}\)

rozwiąż układ i sprawdź jakie są rozwiązania, jeśli w ogóle są:
\(\displaystyle{ \begin{cases} sin \alpha +cos \alpha = \frac{5}{3} \\ sin^2 \alpha+cos^2 \alpha =1 \end{cases}}\)