wykazanie trudnej równości

marek12 · Post autor: **marek12** » 27 wrz 2009, o 12:16

jak wykazac takie cudo

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{8\pi}{7}}=\sqrt[3]{\frac{5-3\sqrt[3]{7}}{2}}}\)

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 27 wrz 2009, o 12:20

Pierwsza mysl: skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ cos(2x)=2cos^{2}x-1}\), potem poprzekształcac trochę i skorzystać ze wzorów skroconego mnożenia 3 stopnia zapewne.

marek12 · Post autor: **marek12** » 27 wrz 2009, o 12:43

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2cos^2\frac{\pi}{7}-1}+\sqrt[3]{2cos^2\frac{2\pi}{7}-1}+\sqrt[3]{2cos^2\frac{4\pi}{7}-1}}\)

i jak teraz przekształcic?

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 27 wrz 2009, o 12:55

Chodziło mi raczej o takie przekształcenie,że w każdym z tych pierwiastków mamy coś z \(\displaystyle{ cos\frac{2\pi}{7}}\) (czyli pierwszy zostawiamy, do drugiego raz uzywamy tego wzoru a do trzeciego dwa razy

marek12 · Post autor: **marek12** » 27 wrz 2009, o 14:15

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2cos^2\frac{\pi}{7}-1}+\sqrt[3]{2cos^2\frac{2\pi}{7}-1}+\sqrt[3]{2cos^2\frac{4\pi}{7}-1}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2cos^2\frac{2\pi}{7}-1}=\sqrt[3]{2(2cos^2\frac{\pi}{7}-1)^2-1}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2cos^2\frac{4\pi}{7}-1}=\sqrt[3]{2(2(2cos^2\frac{\pi}{7}-1)^2-1)^2-1}}\)

o to chodziło?

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 27 wrz 2009, o 14:25

No coś takiego ale ja miałem na mysli,żeby aż tak bardzo nie redukowac: lepiej chyba,żeby tam pod pierwiastkami były \(\displaystyle{ cos(\frac{2 \pi}{7})}\) niż \(\displaystyle{ cos(\frac{ \pi}{7})}\) ale to juz jak uważasz.

marek12 · Post autor: **marek12** » 27 wrz 2009, o 14:33

ja nie wiem jak rozwiazać wiec ide wg twoich wskazówek
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{8\pi}{7}}=\sqrt[3]{cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{2cos^2\frac{2\pi}{7}-1}+\sqrt[3]{2(2cos^2\frac{2\pi}{7}-1)^2-1}}\)
tak zapisałem o to chodziło ? i co dalej?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 27 wrz 2009, o 15:29

Głupie pytanie - skąd to zadanie jest? Bo pachnie mi teorią Galois nieco.

marek12 · Post autor: **marek12** » 27 wrz 2009, o 15:34

z ciczeń z analizy
A co to ta teoria Galois?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 27 wrz 2009, o 15:37

Nic nic, ale pomyślę nad tym na pewno.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 5 paź 2009, o 15:45

Udało się mi to wreszcie wykazać.
Żeby nie psuć zabawy (a jednocześnie byłbym bardzo ciekaw jakichś sprytnych rozwiązań, gdyż to jest chamskie) dam kilka podpowiedzi.

1. Kluczowy jest wzór: \(\displaystyle{ x^{3} + y^{3} + z^{3} -3xyz = (x+y+z)^{3} - 3(x+y+z)(xy+yz+zx)}\)
2. Jeżeli oznaczymy \(\displaystyle{ a = \cos \frac{2 \pi}{7}, b = \cos \frac{2 \pi}{7}, c = \cos \frac{8 \pi}{7}}\), to całkiem łatwo można znaleźć liczby a+b+c, ab + bc + ca i abc.
3. Stosujemy 1 dla liczb \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a}, \sqrt[3]{b}, \sqrt[3]{c}}\).
4. Pojawia się problem obliczenia \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}}\) - stosujemy znowuż 1.
5. Mamy układ równań o niewiadomych \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a}+\sqrt[3}{b}+\sqrt[3]{c}, \ \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3}{bc} + \sqrt[3]{ca}}\).
6. Rozwiązujemy go ze względu na pierwszą zmienną i otrzymujemy to, co mieliśmy dowieść.

W przypadku problemów z poszczególnymi punktami proszę pisać.

I naprawdę byłbym ciekaw prostszego sposobu.