wykazanie trudnej równości
-
- Użytkownik
- Posty: 696
- Rejestracja: 5 lut 2008, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: marki
- Podziękował: 165 razy
- Pomógł: 20 razy
wykazanie trudnej równości
jak wykazac takie cudo
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{8\pi}{7}}=\sqrt[3]{\frac{5-3\sqrt[3]{7}}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{8\pi}{7}}=\sqrt[3]{\frac{5-3\sqrt[3]{7}}{2}}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1958
- Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 361 razy
wykazanie trudnej równości
Pierwsza mysl: skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ cos(2x)=2cos^{2}x-1}\), potem poprzekształcac trochę i skorzystać ze wzorów skroconego mnożenia 3 stopnia zapewne.
-
- Użytkownik
- Posty: 696
- Rejestracja: 5 lut 2008, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: marki
- Podziękował: 165 razy
- Pomógł: 20 razy
wykazanie trudnej równości
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2cos^2\frac{\pi}{7}-1}+\sqrt[3]{2cos^2\frac{2\pi}{7}-1}+\sqrt[3]{2cos^2\frac{4\pi}{7}-1}}\)
i jak teraz przekształcic?
i jak teraz przekształcic?
-
- Użytkownik
- Posty: 1958
- Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 361 razy
wykazanie trudnej równości
Chodziło mi raczej o takie przekształcenie,że w każdym z tych pierwiastków mamy coś z \(\displaystyle{ cos\frac{2\pi}{7}}\) (czyli pierwszy zostawiamy, do drugiego raz uzywamy tego wzoru a do trzeciego dwa razy
-
- Użytkownik
- Posty: 696
- Rejestracja: 5 lut 2008, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: marki
- Podziękował: 165 razy
- Pomógł: 20 razy
wykazanie trudnej równości
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2cos^2\frac{\pi}{7}-1}+\sqrt[3]{2cos^2\frac{2\pi}{7}-1}+\sqrt[3]{2cos^2\frac{4\pi}{7}-1}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2cos^2\frac{2\pi}{7}-1}=\sqrt[3]{2(2cos^2\frac{\pi}{7}-1)^2-1}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2cos^2\frac{4\pi}{7}-1}=\sqrt[3]{2(2(2cos^2\frac{\pi}{7}-1)^2-1)^2-1}}\)
o to chodziło?
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2cos^2\frac{2\pi}{7}-1}=\sqrt[3]{2(2cos^2\frac{\pi}{7}-1)^2-1}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2cos^2\frac{4\pi}{7}-1}=\sqrt[3]{2(2(2cos^2\frac{\pi}{7}-1)^2-1)^2-1}}\)
o to chodziło?
-
- Użytkownik
- Posty: 1958
- Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 361 razy
wykazanie trudnej równości
No coś takiego ale ja miałem na mysli,żeby aż tak bardzo nie redukowac: lepiej chyba,żeby tam pod pierwiastkami były \(\displaystyle{ cos(\frac{2 \pi}{7})}\) niż \(\displaystyle{ cos(\frac{ \pi}{7})}\) ale to juz jak uważasz.
-
- Użytkownik
- Posty: 696
- Rejestracja: 5 lut 2008, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: marki
- Podziękował: 165 razy
- Pomógł: 20 razy
wykazanie trudnej równości
ja nie wiem jak rozwiazać wiec ide wg twoich wskazówek
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{8\pi}{7}}=\sqrt[3]{cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{2cos^2\frac{2\pi}{7}-1}+\sqrt[3]{2(2cos^2\frac{2\pi}{7}-1)^2-1}}\)
tak zapisałem o to chodziło ? i co dalej?
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{8\pi}{7}}=\sqrt[3]{cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{2cos^2\frac{2\pi}{7}-1}+\sqrt[3]{2(2cos^2\frac{2\pi}{7}-1)^2-1}}\)
tak zapisałem o to chodziło ? i co dalej?
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
wykazanie trudnej równości
Udało się mi to wreszcie wykazać.
Żeby nie psuć zabawy (a jednocześnie byłbym bardzo ciekaw jakichś sprytnych rozwiązań, gdyż to jest chamskie) dam kilka podpowiedzi.
1. Kluczowy jest wzór: \(\displaystyle{ x^{3} + y^{3} + z^{3} -3xyz = (x+y+z)^{3} - 3(x+y+z)(xy+yz+zx)}\)
2. Jeżeli oznaczymy \(\displaystyle{ a = \cos \frac{2 \pi}{7}, b = \cos \frac{2 \pi}{7}, c = \cos \frac{8 \pi}{7}}\), to całkiem łatwo można znaleźć liczby a+b+c, ab + bc + ca i abc.
3. Stosujemy 1 dla liczb \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a}, \sqrt[3]{b}, \sqrt[3]{c}}\).
4. Pojawia się problem obliczenia \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}}\) - stosujemy znowuż 1.
5. Mamy układ równań o niewiadomych \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a}+\sqrt[3}{b}+\sqrt[3]{c}, \ \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3}{bc} + \sqrt[3]{ca}}\).
6. Rozwiązujemy go ze względu na pierwszą zmienną i otrzymujemy to, co mieliśmy dowieść.
W przypadku problemów z poszczególnymi punktami proszę pisać.
I naprawdę byłbym ciekaw prostszego sposobu.
Żeby nie psuć zabawy (a jednocześnie byłbym bardzo ciekaw jakichś sprytnych rozwiązań, gdyż to jest chamskie) dam kilka podpowiedzi.
1. Kluczowy jest wzór: \(\displaystyle{ x^{3} + y^{3} + z^{3} -3xyz = (x+y+z)^{3} - 3(x+y+z)(xy+yz+zx)}\)
2. Jeżeli oznaczymy \(\displaystyle{ a = \cos \frac{2 \pi}{7}, b = \cos \frac{2 \pi}{7}, c = \cos \frac{8 \pi}{7}}\), to całkiem łatwo można znaleźć liczby a+b+c, ab + bc + ca i abc.
3. Stosujemy 1 dla liczb \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a}, \sqrt[3]{b}, \sqrt[3]{c}}\).
4. Pojawia się problem obliczenia \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}}\) - stosujemy znowuż 1.
5. Mamy układ równań o niewiadomych \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a}+\sqrt[3}{b}+\sqrt[3]{c}, \ \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3}{bc} + \sqrt[3]{ca}}\).
6. Rozwiązujemy go ze względu na pierwszą zmienną i otrzymujemy to, co mieliśmy dowieść.
W przypadku problemów z poszczególnymi punktami proszę pisać.
I naprawdę byłbym ciekaw prostszego sposobu.