Równanie trygonometryczne

[AZS06]

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin^4\frac{x}{2} + \cos^4\frac{x}{2} = \frac{5}{8}}\) w przedziale \(\displaystyle{ < -\pi; \pi >}\)

[BettyBoo]

Wskazówka: dodaj i odejmij \(\displaystyle{ 2sin^2\frac{x}{2}cos^2\frac{x}{2}}\).

Pozdrawiam.

[AZS06]

Dziękuję za pomoc, rozwiązałem, ale chciałbym żeby jeszcze ktoś rzucił na to okiem.

\(\displaystyle{ \sin^4\frac{x}{2} + \cos^4\frac{x}{2} = \frac{5}{8}}\)

\(\displaystyle{ \sin^4\frac{x}{2} + 2\sin^2\frac{x}{2} *\cos^2\frac{x}{2} + \cos^4\frac{x}{2} - 2\sin^2\frac{x}{2} *\cos^2\frac{x}{2}= \frac{5}{8}}\)

\(\displaystyle{ (\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2})^2 - 2\sin^2\frac{x}{2} *\cos^2\frac{x}{2}= \frac{5}{8}}\)

\(\displaystyle{ 1 - 2(1-\cos^2\frac{x}{2}) *\cos^2\frac{x}{2}= \frac{5}{8}}\)

\(\displaystyle{ 1 - 2\cos^2\frac{x}{2}(1-\cos^2\frac{x}{2})= \frac{5}{8}}\)

\(\displaystyle{ 1 - 2\cos^2\frac{x}{2} +2\cos^4\frac{x}{2} -\frac{5}{8} = 0}\)

\(\displaystyle{ \cos^2\frac{x}{2} = t}\)

\(\displaystyle{ 2t^2 - 2t + \frac{3}{8} = 0 /*8}\)

\(\displaystyle{ 16t^2 - 16t + 3 = 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 9, \sqrt{\Delta} = 3}\)

\(\displaystyle{ t_1 = \frac{1}{4} \vee t_2 = \frac{3}{4}}\)

\(\displaystyle{ \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1}{4} \vee \cos^2\frac{x}{2} = \frac{3}{4}}\)

\(\displaystyle{ \cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2} \vee \cos\frac{x}{2} = -\frac{1}{2} \vee \cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \vee \cos\frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} \vee \frac{x}{2} = \frac{2\pi}{3} \vee \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} \vee \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6}}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{2\pi}{3} \vee x = \frac{4\pi}{3} \vee x = \frac{\pi}{3} \vee x = \frac{5\pi}{3}}\),

Tak ma wyglądać to zadanie ???

[BettyBoo]

Wyróżnik jest równy 64, a Ty piszesz że 9 Ale to pewnie chochlik drukarski, bo obliczenia dalej masz dobrze. Zapomniałeś tylko o uwzględnieniu okresu.

Łatwiej chyba byłoby skorzystać z sinusa kąta podwojonego: \(\displaystyle{ \sin 2t=2\sin t\cos t}\)

Wówczas masz

\(\displaystyle{ 1 - \frac{1}{2}\left(2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\right)^2= \frac{5}{8}}\)

a stąd

\(\displaystyle{ \sin^2 x=\frac{3}{4}\ \Leftrightarrow \sin x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}}\)

i rozwiązanie gotowe.

Pozdrawiam.

[AZS06]

\(\displaystyle{ 1 - \frac{1}{2}\left(2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\right)^2= \frac{5}{8}}\)

Mógłbyś mi to rozpisać, bo korzystając z funkcji podwojonego kąta nie umiem otrzymać takiej postaci..
Pozdrawiam

[BettyBoo]

Bo w tym miejscu jeszcze się z tego nie korzysta
Spójrz na trzecią linijkę swoich obliczeń. To co napisałam, może stanowić czwartą - skorzystanie z jedynki trygonometrycznej oraz przekształcenie przygotowujące do korzystania z sinusa kąta podwojonego.

Pozdrawiam.

[AZS06]

Dzieki za pomoc.
Pozdrawiam