Obliczyc wartosc wyrazenia.

[Andrzej2006x]

Dobry wieczor dla wszystkich, mam dzisiaj do was taką prośbę aby pomogli mi zrozumiec jak takiego typu zadanka robi się, poniewaz choruje i przepuscilem te lekcje, więc niemam pojęcia jak jie robi się.

Jeżeli ktos pomóglby, bylbym bardzo wdzięczny za to. Oraz zeby objasniliby jak i co krok za krokiem robi sie aby bylo jasniej :/

\(\displaystyle{ sin ^{4} \frac{5\pi}{2} + 2sin ^{2} \frac{5\pi}{2} \cdot cos ^{2} \frac{5\pi}{2} + cos ^{4} \frac{5\pi}{2}=}\)

Uproscis vyrazenie.

1. (Popraviony mianovnik)

\(\displaystyle{ \frac{ \left( cos \alpha + sin \left( - \alpha \right) \right) \cdot \left( cos \alpha - sin \left( - \alpha \right) \right)}{ \left( 1+ \sqrt{2} sin \alpha \right) \cdot \left( 1+ \sqrt{2} sin \left( - \alpha \right) \right) }}\)

2.

\(\displaystyle{ sin \left( 2\pi + x \right) cos \left( 4\pi + x \right) + sin ^{2} \left( 6\pi - x \right) + tg ^{2} 100 \pi}\)

Dziękuję za wszelką pomoc dla was

Pozdro

[mmoonniiaa]

\(\displaystyle{ sin ^{4} \frac{5\pi}{2} + 2sin ^{2} \frac{5\pi}{2} \cdot cos ^{2} \frac{5\pi}{2} + cos ^{4} \frac{5\pi}{2}=(sin^2\frac{5\pi}{2}+cos^2\frac{5\pi}{2})^2=1^2=1}\)
najpierw skorzystałam ze wzoru skróconego mnożenia, a następnie z jedynki trygonometrycznej (zajrzyj do podręcznika lub )

-- 23 września 2009, 21:07 --

w 1. mianownik dobrze przepisałeś?-- 23 września 2009, 21:13 --Musisz znać pewne wzory, które na pewno masz w podręczniku, tylko nie wiesz, że tutaj Ci się one przydadzą.

Korzystając z nieparzystości funkcji trygonometrycznej sinus:
\(\displaystyle{ sin(-\alpha)=-sin\alpha}\)

Wzór na cosinus kąta podwojonego:
\(\displaystyle{ cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=1-2sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1}\)

[Andrzej2006x]

\(\displaystyle{ sin ^{4} \frac{5\pi}{2} + 2sin ^{2} \frac{5\pi}{2} \cdot cos ^{2} \frac{5\pi}{2} + cos ^{4} \frac{5\pi}{2}=(sin^2\frac{5\pi}{2}+cos^2\frac{5\pi}{2})^2=1^2=1}\)
najpierw skorzystałam ze wzoru skróconego mnożenia, a następnie z jedynki trygonometrycznej (zajrzyj do podręcznika lub )

Jezeli nietrudno zapisz dla mnie wzor tego mnozenia zamieniając sinusy i cosinusy na a i b.
Poniewaz mi s tym s kroconym mnozeniem v tym przykladzie cos nie jasno.

Tu jakby wychodzi \(\displaystyle{ a ^{4} + a ^{2} \cdot b ^{2} + b ^{4}}\) ale jak to dalej sie robi czmus mi niedochodzi, i tak trudno juz wiczorem myslec jest :/


-- 23 września 2009, 21:07 --

w 1. mianownik dobrze przepisałeś?

Kod: Zaznacz cały

Juz popravilem tam byl znak przy  [tex]alpha[/tex] minus  

-- 23 września 2009, 21:13 --

Musisz znać pewne wzory, które na pewno masz w podręczniku, tylko nie wiesz, że tutaj Ci się one przydadzą.

Korzystając z nieparzystości funkcji trygonometrycznej sinus:
\(\displaystyle{ sin(-\alpha)=-sin\alpha}\)

Wzór na cosinus kąta podwojonego:
\(\displaystyle{ cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=1-2sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1}\)

Kod: Zaznacz cały

W tym wzorze nierozumiem skąd tutaj bierzy się  [tex]1-2sin^2alpha[/tex] ta jedynka zamiast cosinusa 

Wiem ze chyba juz bardzo duzo pytam sie, ale bardzo chcem zrozumiec te przyklady, bo i sami wiecie ze w matematyce jedne z drugim jest scislie związane, a gdy coś opuscisz to się w przyszlości zawsze wychodzi na wierzch :/

P.S dzięki ci za pomóc

[mmoonniiaa]

zawsze możesz sobie zrobić podstawienie:
\(\displaystyle{ a=sin^2 \frac{5\pi}{2} \\
b=cos^2 \frac{5\pi}{2}}\)
i teraz zauważasz, że:
\(\displaystyle{ sin^4 \frac{5\pi}{2}+2sin^2 \frac{5\pi}{2} \cdot cos^2 \frac{5\pi}{2}+cos^4 \frac{5\pi}{2}=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2=(sin^2 \frac{5\pi}{2}+cos^2 \frac{5\pi}{2})^2=1^2=1}\)
jaśniej?

-- 23 września 2009, 21:51 --

Co do wzoru na cosinus kąta podwojonego: on jest taki potrójny, tzn. że ten \(\displaystyle{ cos2\alpha}\) możesz rozpisać na trzy sposoby, zależy jaki będzie Ci potrzebny w danym przykładzie.
1. sposób: \(\displaystyle{ cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha}\)
2. sposób: \(\displaystyle{ cos2\alpha=1-2sin^2\alpha}\)
3. sposób: \(\displaystyle{ cos2\alpha=2cos^2\alpha-1}\)
To są wzory do zapamiętania. -- 23 września 2009, 21:55 --1. Zgodnie ze wzorami, które napisałam (nieparzystość funkcji sinus):
\(\displaystyle{ \frac{ \left( cos \alpha + sin \left( - \alpha \right) \right) \cdot \left( cos \alpha - sin \left( - \alpha \right) \right)}{ \left( 1+ \sqrt{2} sin \alpha \right) \cdot \left( 1+ \sqrt{2} sin \left( - \alpha \right) \right) }= \frac{(cos\alpha-sin\alpha)(cos\alpha+sin\alpha)}{(1+ \sqrt{2} sin \alpha)(1- \sqrt{2} sin \alpha)} =...}\)
spróbuj dokończyć sam, stosując w liczniku i w mianowniku wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: \(\displaystyle{ (a-b)(a+b)=a^2-b^2}\)