Wyznaczenie wartosci najmniejszej.

[Yrch]

Robie sobie zadanko polegajace na wyznaczeniu wartosci najmniejszej funkcji: \(\displaystyle{ f(x)=\frac{( \ctg ^ 2x - \tg ^ 2x)\cdot\ \sin ^ 22x}{4 \cos 2 x\cdot\ \sin ^ 2x}}\) po przeksztalceniu wychodzi mi \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2 \sin ^ 2x}}\) no i mam znalezc wart. najmniejsza takiej funkcji. Gdyby nie dziedzina f(x) to nie byloby zadnego problemu (wart najmn gdy mianownik jest najwiekszy no ale ten przypadek eliminuje mi wlasnie dziedzina) a tak zacinam sie. Czy da cos policzenie pochodnej a potem odnalezienie minimum w przedziale \(\displaystyle{ (0,\pi)}\) z uwzglednieniem dziedziny byloby to jakos tak \(\displaystyle{ \left( 0,\frac{\pi}{4} \right) \cup \left( \frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4} \right)}\) (jako, ze jest ona okresowa)? Strasznie to naciagane i pewnie jest 100razy prostszy sposob, tylko jaki? :>

[Tristan]

Po przekształceniach wychodzi raczej \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{ \sin^2 x}}\) co i tak nie zmienia faktu, że funkcja ta nie ma wartości najmniejszej. Taka wartość po prostu nie istnieje...

[Yrch]

A czy nie jest tak, ze wartoscia najmniejsza \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{ \sin ^ 2x}}\) jest jedynka,no bo przeciez mianownik bedzie przyjmowal wartosci od (0,1> tak w kolko wiec najmniejsza wartosc bedzie w \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}+k\pi}\) i bedzie wynosila 1? Tylko, ze nawet gdyby tak bylo to w powyzszym zadaniu to nic nie da poniewaz \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}+k\pi}\) nie nalzey do dziedziny...

[Tristan]

Zadajesz sobie pytanie i od razu na nie odpowiadasz Jest tak jak piszesz. \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+k \pi}\) to asymptoty pionowe, dlatego też nie ma tej najmniejszej wartości funkcji.

[Yrch]

Dzieki za upewnienie, ze sie nie myle. Jakos wydawalo mi sie ze cos za duzo tych bledow znajduje w "Matematyka z Sensem" (nie polecam :/).