wykazanie nierówności
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
wykazanie nierówności
zauważ, że zadanie ma sens jedynie dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\).
Łatwo zauważyć, że dla rozważanego przedziału, \(\displaystyle{ sin(x)}\) przyjmuje najmniejszą wartość dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{n}}\). Ale mamy prostą nierówność działającą w tym przedziale:
\(\displaystyle{ sin(x) \ge \frac{x}{2}}\)
(działa dobrze przynajmniej dla x z pierwszej ćwiartki, ale to wystarcza)
stąd:
\(\displaystyle{ \frac{sin( \frac{\pi}{n} )}{3} \ge \frac{\pi}{6n} > \frac{1}{2n}}\)
ponadto \(\displaystyle{ |sin(nx)| \le 1}\)
zatem \(\displaystyle{ \frac{sin(nx)}{2n} \ge -\frac{1}{2n}}\)
sumując te nierówności dostajemy tezę.
Łatwo zauważyć, że dla rozważanego przedziału, \(\displaystyle{ sin(x)}\) przyjmuje najmniejszą wartość dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{n}}\). Ale mamy prostą nierówność działającą w tym przedziale:
\(\displaystyle{ sin(x) \ge \frac{x}{2}}\)
(działa dobrze przynajmniej dla x z pierwszej ćwiartki, ale to wystarcza)
stąd:
\(\displaystyle{ \frac{sin( \frac{\pi}{n} )}{3} \ge \frac{\pi}{6n} > \frac{1}{2n}}\)
ponadto \(\displaystyle{ |sin(nx)| \le 1}\)
zatem \(\displaystyle{ \frac{sin(nx)}{2n} \ge -\frac{1}{2n}}\)
sumując te nierówności dostajemy tezę.
wykazanie nierówności
A z tym to trochę przesadzilam Ale by wyszlo tym moim sposobem skoro:miodzio1988 pisze:Suma cosiusow
Tylko tej monotonicznosci by brakowalo do szczescia.Zordon pisze:\(\displaystyle{ sin(x)}\)przyjmuje najmniejszą wartość dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{n}}\).
No, ale sposob Zordona jest o wiele lepszy.