wykazanie nierówności

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

wykazanie nierówności

Post autor: robin5hood »

jak tu zastosować suę kosinósów!
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

wykazanie nierówności

Post autor: Zordon »

zauważ, że zadanie ma sens jedynie dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\).
Łatwo zauważyć, że dla rozważanego przedziału, \(\displaystyle{ sin(x)}\) przyjmuje najmniejszą wartość dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{n}}\). Ale mamy prostą nierówność działającą w tym przedziale:
\(\displaystyle{ sin(x) \ge \frac{x}{2}}\)
(działa dobrze przynajmniej dla x z pierwszej ćwiartki, ale to wystarcza)
stąd:
\(\displaystyle{ \frac{sin( \frac{\pi}{n} )}{3} \ge \frac{\pi}{6n} > \frac{1}{2n}}\)

ponadto \(\displaystyle{ |sin(nx)| \le 1}\)
zatem \(\displaystyle{ \frac{sin(nx)}{2n} \ge -\frac{1}{2n}}\)

sumując te nierówności dostajemy tezę.
miodzio1988

wykazanie nierówności

Post autor: miodzio1988 »

miodzio1988 pisze:Suma cosiusow
A z tym to trochę przesadzilam Ale by wyszlo tym moim sposobem skoro:
Zordon pisze:\(\displaystyle{ sin(x)}\)przyjmuje najmniejszą wartość dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{n}}\).
Tylko tej monotonicznosci by brakowalo do szczescia.

No, ale sposob Zordona jest o wiele lepszy.
ODPOWIEDZ