Równanie trygonometryczne z parametrem

[kluczyk]

Pokazać, że dla każego \(\displaystyle{ m}\) rozwiązanie równania \(\displaystyle{ (m^{2}+1)cos^{2}x+4cosx-1=0}\)zawiera się w przedziale \(\displaystyle{ (6,8)}\)

[Rogal]

Coś jest chyba nie tak z treścią, gdyż choćby z natury tych rozwiązań (okresowość) wyjdziemy poza zadany przedział. Również wygląda jakby brakowało kwadratu na początku.

[kluczyk]

Poprawione. Dokładnie taką treść zadania miałem dziś na sprawdzianie...

[mikel]

Niech \(\displaystyle{ f(x) = (m^{2}+1)cos^{2}x+4cosx-1}\)
\(\displaystyle{ 2\pi}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{5}{2}\pi}\) należą do przedziału \(\displaystyle{ (6,8)}\)
\(\displaystyle{ f(2\pi) > 0}\) i \(\displaystyle{ f(\frac{5}{2}\pi)<0}\), a funkcja f jest ciągła, więc istnieje \(\displaystyle{ x_0 \in (2\pi,\frac{5}{2}\pi)}\) t. że \(\displaystyle{ f(x_0)=0}\).

[Rogal]

Tak, tylko że przesuwając się o okres cosinusa otrzymamy nowe rozwiązania, które nie należą do tego przedziału. Więc zadanie powinno brzmieć raczej: "wykaż, że dla każdego m istnieje rozwiązanie tego równania z takiego przedziału".

[mikel]

Wydaje mi się, że to co napisałeś jest równoważne z treścią zadania. Jest tam mowa o rozwiązaniu - pojedynczym, dowolnym, które leży w danym przedziale.

[Rogal]

No właśnie ta "dowolność" mi nie pasuje, bo dowolne tam nie należy. Można to różnie przeformułować, ale moim zdaniem jest nieprecyzyjnie, gdyż trzeba się poważnie domyślać, a takich sformułowań należy unikać.

[Zordon]

Powinno być "pewne rozwiązanie zawiera się w przedziale...", a teraz rzeczywiście trzeba sie domyślać.