Zadania maturalne -funkcja trygonometryczna

[szymek]

Sinus kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\) jest o \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) większy od kosinusa tego kąta. Oblicz \(\displaystyle{ cos \alpha}\)


=======================
Wiedząc, że sinus kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{8+ \sqrt{15} } }{4}}\), oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\displaystyle{ (sin\alpha +cos \alpha)^{2}}\)

W drugim \(\displaystyle{ (sin\alpha +cos \alpha)^{2}}\) =\(\displaystyle{ sin^{2}\alpha+2sin\alpha cos\alpha+cos^{2}\alpha=sin2\alpha+1}\) i co dalej? jak to pociągnąć?

Dziękuję.

[Kamil_B]

1. Jedynka trygonometryczna i odpowiedni układ równań.
2. Jedynka trygonometryczna do wyznaczenia kosinusa i odrazu możesz podstawić do tego swojego wyrażenia \(\displaystyle{ (sin\alpha +cos \alpha)^{2}}\)

[Sherlock]

1.\(\displaystyle{ sin\alpha=cos\alpha+ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\), podnieś do kwadratu...
2. Nie zwijaj do \(\displaystyle{ sin2\alpha}\), z jedynki trygonometrycznej wylicz cosinus (wybierz wartość dodatnią bo kąt ostry) i wymnóż...

[pilkarzyk]

Pomoże ktoś z tym pierwszym ?

Doszedłem do postaci:

\(\displaystyle{ 1-cos ^{2} \alpha =cos ^{2} \alpha + \sqrt{2} cos \alpha + \frac{1}{2}}\)

Co dalej ?

[Sherlock]

podstaw pomocniczą zmienną np. \(\displaystyle{ t=cos\alpha}\) i rozwiąż równanie kwadratowe, z otrzymanych rozwiązań wybierz te które spełnia warunek zadania