Tożsamość, sprowadzanie do wsp. m.

[HunterPL]

\(\displaystyle{ \frac{sin \alpha }{1+cos \alpha } + \frac{1+cos \alpha }{sin \alpha } = \frac{2}{sin \alpha }}\)

Mam problem ze sprowadzeniem do wspólnego mianownika, nie było mnie kiedyś na tej lekcji i mam braki, więc proszę o wytłumaczenie. Po wytłumaczeniu myślę, że sobie poradzę

[agulka1987]

\(\displaystyle{ \frac{sin^2\alpha}{sin\alpha(1+cos\alpha)} + \frac{1+2cos\alpha+cos^2\alpha}{sin\alpha(1+cos\alpha)}}\)

\(\displaystyle{ sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{2+2cos\alpha}{sin\alpha(1+cos\alpha)} = \frac{2(1+cos\alpha)}{sin\alpha(1+cos\alpha)} = \frac{2}{sin\alpha}}\)

[HunterPL]

\(\displaystyle{ \frac{sin^2\alpha}{sin\alpha(1+cos\alpha)} + \frac{1+2cos\alpha+cos^2\alpha}{sin\alpha(1+cos\alpha)}}\)

\(\displaystyle{ sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{2+2cos\alpha}{sin\alpha(1+cos\alpha)} = \frac{2(1+cos\alpha)}{sin\alpha(1+cos\alpha)} = \frac{2}{sin\alpha}}\)

Mogłabyś krok po kroku wytłumaczyć skąd się to bierze?

[agulka1987]

Wspólny mianownik tak jak w zwykłych ułamkach , wymnażasz oba mianowniki a następnie liczniki mnożysz przez mianownik na krzyż i otrzymujesz

\(\displaystyle{ \frac{sin\alpha \cdot sin\alpha}{sin\alpha(1+cos\alpha)} + \frac{(1+cos\alpha)(1+cos\alpha)}{sin\alpha(1+cos\alpha)} = \frac{sin^2\alpha + 1+2cos\alpha+cos^2\alpha}{sin\alpha(1+cos\alpha)}= \frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha + 1+2cos\alpha}{sin\alpha(1+cos\alpha)}}\)

wykorzystujesz jedynkę trygonometryczną \(\displaystyle{ sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1}\)

i podstawiając otrzymujesz

\(\displaystyle{ =\frac{1+1+2cos\alpha}{sin\alpha(1+cos\alpha)} = \frac{2+2cos\alpha}{sin\alpha(1+cos\alpha)}}\)

wyłanczasz 2 w liczniku przed nawias

\(\displaystyle{ =\frac{2(1+cos\alpha)}{sin\alpha(1+cos\alpha)}}\)


skracasz licznik z mianownikiem

\(\displaystyle{ = \frac{2}{sin\alpha}}\)