Wykaż bez użycia tablic i kalkulatora, że...

[the moon]

Wykaż bez użycia tablic i kalkulatora, że:

1. cos 36 * cos 72 = 1/4

2. tg 15 + ctg 15 = 4

[Yavien]

bez uzycia tablic i kalkulatora, to znaczy, że nie możesz wziac z tablic wartości cos 36 czy sin 72, ale możesz stosować wzory na funkcje trygonometryczne sumy/różnicy katów, albo np na sin(90+alfa)...
Spróbuj pokombinować z takimi wzorami.

[Skrzypu]

zad 1

0=sin180=sin(5*36)=16sin^5 36-20sin^3 36+5sin36
sin36=x
16x^5-20x^3+5x=0
Ponieważ x=sin360 więc możemy spokojnie podzielić przez x obie strony
16x^4-20x^2+5=0
Teraz x^2=t
16t^2-20t+5=0
delty, pierwiastki...
Mamy wyniki:
x_1=(sqrt(10-2sqrt5))/4
x_2=(sqrt(10+2sqrt5))/4

x_1

[the moon]

Wszystko rozumiem, z wyjątkiem samego początku.

Skąd w zadaniu wziął się zapis: 16sin^5 36 - 20sin^3 36 + 5sin36 ?

[Skrzypu]

Jest taki wzorek na sin5x

sin5x=sin3x+2x=sin3xcos2x+sin2xcos3x=sinx(3-4sin^2 x)(1-2sin^2 x)+2sinxcosx*cosx(4cos^2 x-3)=(3sinx-4sin^3 x)(1-2sin^2 x)+2cos^2 x sinx(4cos^2 x-3)=3sinx-6sin^3 x-4sin^3 x+8 sin^5 x+8 cos^4 x sinx-6 cos^2 x sinx=sinx[3-(10sin^2 x+6cos^2 x)+8 sin^4 x+8 cos^4 x]=sinx[3-4sin^2 x-6+8 sin^4 x+8*(1-sin^2 x)^2]=sinx[-3-4sin^2 x+8sin^4 x+8*(1-2sin^2 x+sin^4 x)]=sinx(-3-4sin^2 x+8 sin^4 x+8-16sin^2 x+8 sin^4 x)=sinx(5+16sin^4 x-20sin^2 x)=16sin^5 x-20sin^3 x+5sinx

[the moon]

Wielkie Dzięki

[Andix]

Znalazłem ładne rozwiązanie do przykłądu a), przynajmniej wydaje mi sie, ze ładne.
Biore Δ ABC taki, ze AB=BC i